2010-2011学年浙江省温州市龙湾中学高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1+i，则=（ ）
A．
B．
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知集合，且M、N都是全集I的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．{z|-3≤z≤1}
C．
D．

3. 难度：中等

若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）满足，则的解是（ ）
A．0＜x＜1
B．x＜1
C．x＞0
D．x＞1

5. 难度：中等

设函数，则对于任意的实数a和b，a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件

6. 难度：中等

如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（ ）

A．C_n^m-1
B．A_n^m-1
C．C_n^m
D．A_n^m

7. 难度：中等

已知向量的夹角为，且，，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（ ）
A．60种
B．100种
C．300种
D．600种

9. 难度：中等

若函数f（x）=3x-x³在区间（a²-12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．（-1，4）
C．（-1，2]
D．（-1，2）

10. 难度：中等

已知点P是椭圆上的动点，F₁（-c，0）、F₂（c，0）为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则|OM|的取值范围是（ ）
A．（0，c）
B．（0，a）
C．（b，a）
D．（c，a）

二、填空题

11. 难度：中等

根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为    ．

12. 难度：中等

如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积    ．

13. 难度：中等

展开式中x²项系数为    ．

14. 难度：中等

从集合{-1，-2，-3，0，1，2，3，4}中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为     ．

15. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则a的值为     ．

16. 难度：中等

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为    ．

17. 难度：中等

计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求a的值．

19. 难度：中等

某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．
（Ⅰ）求工厂每月盈利额ξ（万元）的所有可能取值；
（Ⅱ）若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；
（Ⅲ）求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD'所成角的正弦值．

21. 难度：中等

设MN是双曲线的弦，且MN与x轴垂直，A₁、A₂是双曲线的左、右顶点．
（Ⅰ）求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=x-1与轨迹C交于A、B两点，若轨迹C上的点P满足（O为坐标原点，λ，μ∈R）
求证：为定值，并求出这个定值．

22. 难度：中等

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f'_n（x），且满足：（ξ₁≠ξ₂），λ，ξ₁，ξ₂为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f_2n-1（x）与f_n（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程在区间（0，1）上的实数根的个数．