2009-2010学年重庆市西南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若点A（7，3），B（-1，-1），则AB中点C的纵坐标为（ ）
A．3
B．1
C．（3，1）
D．（6，2）

2. 难度：中等

已知M（-4，3），N（2，15），则直线MN的斜率是（ ）
A．2
B．
C．-2
D．

3. 难度：中等

直线l₁：x-y+3=0，l₂：的夹角是（ ）
A．15°
B．60°
C．75°
D．105°

4. 难度：中等

若A（3，1），B（-2，k），C（8，11）三点在同一直线上，那么k的值是（ ）
A．-6
B．-7
C．-8
D．-9

5. 难度：中等

圆x²+y²-2x-3=0的圆心到直线y=2x的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，四面体A-BCD的四个面全等，且AB=AC=，BC=4，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

过点（-1，1）作直线，若它与抛物线y²=4x有且只有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

8. 难度：中等

设有直线m、n和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊈α，则m∥α

9. 难度：中等

椭圆的两焦点分别为F₁、F₂，以F₁、F₂为边作等边三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到三顶点A，B，C的距离都是14，则P到平面ABC的距离是（ ）
A．6
B．7
C．9
D．13

二、填空题

11. 难度：中等

已知直线l₁：ax+2y+2=0与直线l₂：3x-y-2=0垂直，则m值为    ．

12. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱B₁C₁，AD的中点，则直线MN与底面ABCD所成角的大小是    ．

13. 难度：中等

若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点，则k的取值范围是    

14. 难度：中等

P与F分别是抛物线x²=-4y上的点和焦点，已知点A（1，-2），为使|PA|+|PF|取最小值，则P点坐标为    ．

15. 难度：中等

已知，则z=y-x的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-4x-6y+12=0，求：（1）圆C的半径；（2）若直线y=kx+2与圆C有两个不同的交点，求k 的取值范围．

17. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，E是棱A₁B₁的中点．
（1）求异面直线A₁B₁与BD的距离；
（2）求直线EC₁与BD所成角的大小．

18. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面垂直，其中，AF=1，M是EF中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-BD-F的大小．

19. 难度：中等

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求a与b满足的关系；
（2）在 （1）的条件下，求线段AB中点的轨迹方程．

20. 难度：中等

正方形ABCD中，E为AB中点，F为BC中点，将△AED、△BEF及△DCF分别沿DE、EF、DF折起，使A、B、C点重合于P点．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求PD与平面DEF所成角的余弦值的大小．

21. 难度：中等

如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：（O为原点）且
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于 M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．