2008-2009学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若ac＞0且bc＜0，直线ax+by+c=0不通过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

若a＞b＞1，，则（ ）
A．R＜P＜Q
B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R
D．P＜R＜Q

3. 难度：中等

直线L的方向向量为M=（-1，2），直线L的倾角为α，则tan2α=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

下列大小关系正确的是（ ）
A．0.4³＜3^0.4＜log₄0.3
B．0.4³＜log₄0.3＜3^0.4
C．log₄0.3＜0.4³＜3^0.4
D．log₄0.3＜3^0.4＜0.4³

6. 难度：中等

如果函数y=ax²+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知椭圆上一点P到左焦点的距离为8，则它到右准线的距离为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．15

8. 难度：中等

关于x的不等式|x-3|+|x-2|＜a无实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1
B．a＞1
C．a≤1
D．a＜1

9. 难度：中等

给定点A（x，y），圆C：x²+y²=r²及直线l：xx+yy=r²，给出以下三个命题：
①当点A在圆C上时，直线l与圆C相切；
②当点A在圆C内时，直线l与圆C相离；
③当点A在圆C外时，直线l与圆C相交．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

我国发射的“嫦娥1号”绕月卫星的运行轨道是以月球的中心F₂为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，月球半径为R千米，则卫星运行轨道的短轴长为（ ）
A．mn
B．2mn
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

不等式（x-1）|x+2|≥0的解集为    ．

12. 难度：中等

点P（a，b）是单位圆上的动点，则点Q（ab，a+b）的轨迹方程是    ．

13. 难度：中等

一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P，直线PF₁（F₁为该椭圆左焦点）是此圆切线，则椭圆离心率为    ．

14. 难度：中等

己知动点A，B分别在x轴和直y=x上，C为定点（2，1），则△ABC周长的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知点P（x，y）满足，设A（2，0），则（O为坐标原点）的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

记关于x的不等式的解集为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q．
（I）若a=3，求P；
（II）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知a＞0，b＞0且，求：
（1）a+b的最小值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A（a，0）、B（0，b），求VABO（O为坐标原点）面积的最小值．

18. 难度：中等

如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，-1），∠B的内角平分线方程是x-4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y-59=0．求顶点B的坐标和直线BC的方程．

19. 难度：中等

在单位正方形ABCD（边长为1个单位长度的正方形，如图所示）所在的平面上有点P满足条件|PA|²+|PB|²=|PC|²，试求点P到点D的距离的最大值与最小值．

20. 难度：中等

已知一个圆截y轴所得的弦长为2，被x轴分成的两段弧长的比为3：1．
（1）设圆心（a，b），求实数a、b满足的关系式；
（2）当圆心到直线l：x-2y=0的距离最小时，求圆的方程．

21. 难度：中等

定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使取最大值时点P的坐标．