2007-2008学年重庆市暨华中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

n∈N₊且n＜20，则（20-n）（21-n）…（100-n）等于（ ）
A．A_100-n⁸⁰
B．A_100-n^20-n
C．A_100-n⁸¹
D．A_20-n⁸¹

2. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③
D．②④

3. 难度：中等

一个正四棱锥的底面面积为Q，则它的中截面（过各侧棱的中点的截面）的边长是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

α表示一个平面，l表示一条直线，则α内至少有一条直线与直线l（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直

5. 难度：中等

设M={正四棱柱}，N={直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，则四个集合的关系为（ ）
A．M⊊P⊊N⊊Q
B．M⊊P⊊Q⊊N
C．P⊊M⊊N⊊Q
D．P⊊M⊊Q⊊N

6. 难度：中等

设正方体的全面积为24cm²，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）
A．cm³
B．cm³
C．cm³
D．cm³

7. 难度：中等

某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式为（ ）
A．120
B．48
C．36
D．18

8. 难度：中等

在北纬45°圈上有A，B两地，A在东经20°，B在西经70°，设地球半径为R，则A，B两地的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

正四面体A-BCD棱长为1，点P在AB上移动，点Q在CD上移动，则PQ的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若集合M={x，y，z}，集合N={-1，0，1}，f是从M到N的映射，则满足f（x）+f（y）+f（z）=0的映射有（ ）
A．6个
B．7个
C．8个
D．9个

12. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC，BD的交点，则C₁O与A₁D所成的角是（ ）
A．60°
B．90°
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为    ．

15. 难度：中等

正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为6，侧棱长为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小为    ．

16. 难度：中等

已知a、b是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α∥β，a⊂α，则a∥β；
②若a、b与α所成角相等，则a∥b；
③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；
④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确的命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB=a，E、F是侧棱PB、PC的中点，
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求直线PC与底面ABCD所成角θ的正切值．

18. 难度：中等

已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面ABC的距离．

19. 难度：中等

有4名老师和4名学生站成一排照相．（必须写出解析式再算出结果才能给分）
（1）4名学生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
（2）任两名学生都不能相邻，共有多少种不同的排法？
（3）老师和学生相间排列，共有多少种不同的排法？

20. 难度：中等

二面角α-EF-β的大小为120°，A是它内部的一点AB⊥α，AC⊥β，B，C分别为垂足．
（1）求证：平面ABC⊥β；
（2）当AB=4cm，AC=6cm，求BC的长及A到EF的距离．

21. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点．
（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；
（2）求点D₁到面BDE的距离．

22. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每条棱长均为a，M为棱A₁C₁上的动点．
（1）当M在何处时，BC₁∥平面MB₁A，并证明之；
（2）在（1）下，求平面MB₁A与平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB₁M体积的最大值．