2008-2009学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

焦点坐标为（-2，0）的抛物线的标准方程为（ ）
A．y²=-8
B．y²=-4
C．x²=-4y
D．x²=-8y

2. 难度：中等

设定点F₁（0，-1）、F₂（0，1），动点P满足条件|PF₁|-|PF₂|=1，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线或两条射线
B．双曲线的一支
C．双曲线
D．双曲线的一支或一条射线

3. 难度：中等

以下说法错误的是（ ）
A．若A∈α，B∈α，则直线AB⊂α
B．经过三点有且仅有一个平面
C．三直线两两相交，且不共点，则三直线共面
D．三直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c

4. 难度：中等

已知圆C与圆（x-1）²+y²=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为（ ）
A．（x+1）²+y²=1
B．x²+y²=1
C．x²+（y+1）²=1
D．x²+（y-1）²=1

5. 难度：中等

设F为椭圆的右焦点，则该椭圆上与点F的距离最远的点到椭圆右准线的距离为（ ）
A．2
B．5
C．6
D．20

6. 难度：中等

抛物线y²=2px上的一点Q的横坐标为6，且Q点到抛物线的焦点F的距离|FQ|=10，则F点到抛物线的准线l的距离是（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4

7. 难度：中等

如果直线l过点（0，6），且与抛物线y²=-12x只有一个公共点，则这样的直线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

空间四边形ABCD中，线段AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、R、S，则在下面的命题中：
（1）P、Q、R、S四点共面；
（2）PR与QS不相交；
（3）当AC=BD时，四边形PQRS是菱形；
（4）当AC⊥BD时，四边形PQRS是矩形．
正确命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

过抛物线x²=8y的焦点作圆x²+（y+2）²=4的一条切线，设该切线与抛物线交于A、B两点，则|AB|的值为（ ）
A．
B．
C．16
D．32

10. 难度：中等

已知椭圆与双曲线共焦点，点P是该椭圆与双曲线在第一象限的公共点，如果以椭圆的右焦点为焦点，以y轴为准线的抛物线恰过P点，那么椭圆的离心率e₁与双曲线的离心率e₂之间的关系为（ ）
A．e₂-e₁=1
B．e₁+e₂=2
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

参数方程所对应的普通方程为    ．

12. 难度：中等

已知O₁：（x-1）²+y²=1与O₂：（x-2）²+（y-1）²=r²（r＞0）相外切，则r=    ．

13. 难度：中等

渐近线为y=±2x的双曲线经过点，则双曲线的方程为    ．

14. 难度：中等

直线交椭圆于A，B两点，若AB中点横坐标为1，则b=    ．

15. 难度：中等

已知P是抛物线x²=4y上一点，则P到直线3x+4y+6=0的距离最小值为    ．

16. 难度：中等

如图所示，C是半圆弧x²+y²=1（y≥0）上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点所经过的路程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

椭圆，双曲线C₂的方程为
（1）求C₁的焦点坐标、离心率及准线方程；
（2）若C₂的离心率与C₁的离心率互为倒数，且C₂的虚半轴长等于C₁焦点到相应准线的距离，求C₂的方程．

18. 难度：中等

如图：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁B₁的中点，求异面直线AE与BD所成角的大小．

19. 难度：中等

半径为的圆C的圆心C在射线y=-2x（x≤0）上，且截y轴所得的弦长为1．
（1）求圆C的方程．
（2）设P为圆C上一动点，O为坐标原点，求△PCO的重心G的轨迹方程．

20. 难度：中等

如图：椭圆，其准线与x轴交点为D，一直线过右焦点F与椭圆交于A，B两点，当△ABD面积为时，求直线AB的方程．

21. 难度：中等

已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1的左支交于点A，右支交于点B
（1）求k的取值范围；
（2）若直线l与y轴交于点P，且满足|PB|=2|PA|，求直线l的方程．

22. 难度：中等

动点P到定点F（1，0）和定直线x=3的距离之和为4；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点F做斜率为k的直线交P点的轨迹于AB两点|AB|=f（k），求f（k）的最大值．