2009-2010学年湖北省宜昌一中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（ ）
A．a²＜b²
B．ab＜b²
C．
D．|a|-|b|=|a-b|

2. 难度：中等

设x，y为正实数且满足，则xy有（ ）
A．最小值12
B．最大值12
C．最小值144
D．最大值144

3. 难度：中等

椭圆的准线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

直线l过点（-1，2）且与直线2x-3y+9=0垂直，则l的方程是（ ）
A．3x+2y-1=0
B．3x+2y+7=0
C．2x-3y+5=0
D．2x-3y+8=0

5. 难度：中等

圆C₁：（x-1）²+（y+1）²=1关于直线x+y-1=0的对称圆C₂的方程为（ ）
A．（x-2）²+y²=1
B．（x+2）²+y²=1
C．x²+（y-2）²=1
D．x²+（y+2）²=1

6. 难度：中等

若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（ ）
A．-3
B．
C．2
D．3

7. 难度：中等

抛物线y=4x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0

8. 难度：中等

曲线与曲线的（ ）
A．长、短轴相等
B．准线相等
C．离心率相等
D．焦距相等

9. 难度：中等

已知函数，则不等式f（x）≥x²的解集是（ ）
A．[-1，1]
B．[-2，2]
C．[-2，1]
D．[-1，2]

10. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的顶点在原点，它的准线与双曲线C₁的左准线重合，若双曲线C₁与抛物线C₂的交点P满足PF₂⊥F₁F₂，则双曲线C₁的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

直线的倾斜角为    ．

12. 难度：中等

椭圆上一点P到左准线的距离为，则点P到左焦点的距离为    ．

13. 难度：中等

直线y=kx与圆（x-2）²+y²=1相切，则k的值是    ．

14. 难度：中等

线段AB长为3，其端点A、B分别在x、y轴上移动，则AB的中点M的轨迹方程是    ．

15. 难度：中等

以下四个命题：
①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②抛物线y=ax²的焦点到原点的距离是；
③直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p；
④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为．其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

关于x的不等式的解集为A，不等式|x-a|≤1的解集为B．
（1）求集合A，B；
（2）若A⊇B，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知△ABC的三顶点A（3，-1），B（9，5），C（2，6）．
（1）求边AB上的中线所在直线的方程；
（2）求角B的平分线所在直线的方程．

18. 难度：中等

圆C：（x-1）²+（y-2）²=25内有一点P（3，1），l为过点P且倾斜角为α的直线．
（1）若，求直线l与圆C相交弦的弦长；
（2）求直线l被圆C截得的弦长度最短时，直线l的方程．

19. 难度：中等

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

20. 难度：中等

已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点A的坐标为，B是圆上的点，点M在双曲线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标．

21. 难度：中等

已知直线x-2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．