2011-2012学年江苏省南京一中高三（上）10月段考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是    ．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+kx在[2，4]上是单调减函数，则实数k的取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知集合，则A∩B=    ．

4. 难度：中等

函数的定义域是    ．

5. 难度：中等

已知sinα+cosα=，0＜α＜π，则tanα=    ．

6. 难度：中等

设函数，则=    ．

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₇=8，a₅=，则，S_n=    ．

8. 难度：中等

已知，则=    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减，且f （-2）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为    ．

10. 难度：中等

将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为a₁=，且满足=5 （n∈N⁺），则a₆=    ．

12. 难度：中等

如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则f（x）=    ．

13. 难度：中等

为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为    ．

14. 难度：中等

关于x的方程（x-1）²-|x-1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根．
其中真命题的序号是    ．

15. 难度：中等

已知命题p：函数y=log_0、5（x²+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=-（5-2a）^x是减函数、若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是    、

二、解答题

16. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（I）求证：EF⊥平面BCE；
（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE．

17. 难度：中等

已知：为常数）．
（I）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（II）若f（x）在[上最大值与最小值之和为5，求a的值．

18. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T．

20. 难度：中等

设a为实数，设函数的最大值为g（a）．
（Ⅰ）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）
（Ⅱ）求g（a）
（Ⅲ）试求满足的所有实数a