2010-2011学年湖北省荆州中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤

2. 难度：中等

有50件产品编号从1到50，现在从中抽取抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为（ ）
A．5，10，15，20，25
B．5，15，20，35，40
C．5，11，17，23，29
D．10，20，30，40，50

3. 难度：中等

某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大哩，原来这句话的等价命题是（ ）
A．不拥有的人们不一定幸福
B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福
D．不拥有的人们就不幸福

4. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃m∈R，使函数f（x）=x²+mx（x∈R）是偶函数
B．∃m∈R，使函数f（x）=x²+mx（x∈R）是奇函数
C．∀m∈R，使函数f（x）=x²+mx（x∈R）都是偶函数
D．∀m∈R，使函数f（x）=x²+mx（x∈R）都是奇函数

5. 难度：中等

设a是实数，且是实数，则a=（ ）
A．
B．1
C．
D．2

6. 难度：中等

给出下列结论：
（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；
（2）在回归分析中，可用指数系数R²的值判断模型的拟合效果，R²越大，模型的拟合效果越好；（其中）
（3）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；
（4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
以上结论中，正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（a）≤bf（b）
B．af（a）≥bf（b）
C．af（b）≤bf（a）
D．af（b）≥bf（a）

10. 难度：中等

n个连续自然数按如下规律排成下表，根据规律，从2009到2011的箭头方向依次为（ ）
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓

二、填空题

11. 难度：中等

若A与B是互斥事件，则A、B同时发生的概率为    ．

12. 难度：中等

如图是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填    ．

13. 难度：中等

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50 分的分成五段[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]然后画出如下图的部分频率分布直方图．观察图形的信息，可知数学成绩低于50分的学生有    人；估计这次考试数学学科的及格率（60分及以上为及格）为    ；

14. 难度：中等

已知f（x）=x²-xf′（2），则f′（0）等于    ．

15. 难度：中等

给出4个命题：
（1）设椭圆长轴长度为2a（a＞0），椭圆上的一点P到一个焦点的距离是，P到一条准线的距离是，则此椭圆的离心率为．
（2）若椭圆（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|为定值．
（3）如果平面内动点M到定直线l的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线．
（4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₁，则FA₁⊥FB₁．
其中正确命题的序号依次是    ．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：“函数f（x）=ax²-4x（a∈R）在（-∞，2]上单调递减”，命题q：“∀x∈R，16x²-16（a-1）x+1≠0”，若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）

高校	相关人数	抽取人数
A	18	x
B	36	2
C	54	y

（1）求x，y；
（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．

18. 难度：中等

有以下三个不等式：
（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；
（6²+8²）（2²+12²）≥（6×2+8×12）²；
（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．

19. 难度：中等

某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）

20. 难度：中等

设函数，
（Ⅰ）若f（x）在x=1处有极值，求a；
（Ⅱ）若f（x）在[2，3]上为增函数，求a的取值范围．
（Ⅲ）当a=-1时，函数f（x）图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

21. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）．
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且．求y的值．