1. 难度:中等 | |
若,,是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系式中,不成立的是( ) A. B. C. D. |
2. 难度:中等 | |
给出下列命题: ①已知,则; ②A、B、M、N为空间四点,若不构成空间的一个基底,则A、B、M、N共面; ③已知,则与任何向量不构成空间的一个基底; ④已知是空间的一个基底,则基向量可以与向量构成空间另一个基底. 正确命题个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 |
3. 难度:中等 | |
已知均为单位向量,它们的夹角为60°,那么=( ) A. B. C. D.4 |
4. 难度:中等 | |
若,且,则向量与的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° |
5. 难度:中等 | |
已知,,且=2,则x的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 |
6. 难度:中等 | |
若直线l的方向向量为,平面α的法向量为,能使l∥α的是( ) A.=(1,0,0),=(-2,0,0) B.=(1,3,5),=(1,0,1) C.=(0,2,1),=(-1,0,-1) D.=(1,-1,3),=(0,3,1) |
7. 难度:中等 | |
直角坐标系中,设A(2,3),B(-3,-2),沿y轴把直角坐标系折成120°二面角后,则AB的长度是( ) A. B. C. D. |
8. 难度:中等 | |
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则E到平面ABC1D1的距离为 ( ) A. B. C. D. |
9. 难度:中等 | |
已知,,,其中,,为单位正交基底,若F1,F2,F3共同作用在一个物体上,使物体从点M1(1,-2,1)移到点M2(3,1,2),则合力所作的功为 . |
10. 难度:中等 | |
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,AD=4,AB=3,AA1=5,= . |
11. 难度:中等 | |
△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60°,则AD与平面BCD所成角的余弦值为 . |
12. 难度:中等 | |
若直线l的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),且l⊥α,则m= . |
13. 难度:中等 | |
已知A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段AB的中点M的坐标为 . |
14. 难度:中等 | |
设空间两个不同的单位向量与向量的夹角都等于45°. (1)求x1+y1和x1•y1的值; (2)求的大小. |
15. 难度:中等 | |
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PC上的点且CE:CP=1:4,则在线段AB上是否存在点F使EF∥平面PAD. |
16. 难度:中等 | |
如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得. (1)求a的最大值; (2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小; (3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量及点P到平面SCD的距离. |
17. 难度:中等 | |
已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,,AF=1,M是线段EF的中点. (1)求证:AM∥平面BDE; (2)求证:AM⊥平面BDF. |
18. 难度:中等 | |
如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;②a=1;③;④a=2;⑤a=4. (1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值,请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值; (3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个,试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小. |
19. 难度:中等 | |
如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=,点E在PD上,且PE:ED=2:1. (I)证明PA⊥平面ABCD; (II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小; (Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论. |