2010-2011学年湖北省孝感高中高三（上）10月数学测试卷12（理科）（函数、数列、三角函数）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

角α的终边经过点P（x，-）（x≠0），且cosα=x，则sinα等于（ ）
A．
B．
C．
D．-

2. 难度：中等

函数f（x）=3cos2x-4sinxcosx的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

3. 难度：中等

下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

化简：=（ ）
A．
B．
C．1
D．2

6. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

7. 难度：中等

已知数列{x_n}满足x₂=，x_n=（x_n-1+x_n-2），n=3，4，…．若=2，则x₁=（ ）
A．
B．3
C．4
D．5

8. 难度：中等

等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，且有，则=（ ）
A．
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，k为正整数，a₁=16，则a₁+a₃+a₅=（ ）
A．18
B．21
C．24
D．30

10. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=2，a₈=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₈），则f′（0）=（ ）
A．2⁶
B．2⁹
C．2¹²
D．2¹⁵

二、填空题

11. 难度：中等

已知a是第二象限的角，tan（π+2a）=-，则tana=    ．

12. 难度：中等

已知，则从小到大依次为    ．

13. 难度：中等

函数的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为，则a₁C_n+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求x_n的值．

16. 难度：中等

某加工厂需要定期购买原材料，已知每公斤材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元、
每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）．
（1）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y₁关于x的函数关系式；
（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少（小）值．

17. 难度：中等

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{}是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

18. 难度：中等

已知曲线C：f（x）=x²，C上的点A，A_n的横坐标分别为1和a_n（n∈N^*），且a₁=5，数列{x_n}满足，设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点P_n（x_n，f（x_n）），使得点P_n处的切线与直线AA_n平行．
（1）证明：{log_t（x_n-1）+1}是等比数列；
（2）当D_n+1⊊D_n对一切n∈N^*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，当时，试比较S_n与n+7的大小，并证明你的结论．