2010-2011学年湖北省黄冈市高二（上）12月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给出命题
（1）若A与B不重合，A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；
（2）若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，α与β不重合，则α∩β=AB；
（3）若l⊄α，A∈l，则A∉α；
（4）若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合，
则上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．互为异面直线

3. 难度：中等

异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ属于集合（ ）
A．{θ|0°＜θ＜40°}
B．{θ|40°＜θ＜50°}
C．{θ|40°＜θ＜90°}
D．{θ|50°＜θ＜90°}

4. 难度：中等

已知P是椭圆上的一点，O是坐标原点，F是椭圆的左焦点且=（），||=4，则点P到该椭圆左准线的距离为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．

5. 难度：中等

设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx-sinB•y+sinC=0的位置关系是（ ）
A．平行
B．重合
C．垂直
D．相交但不垂直

6. 难度：中等

点P（-3，1）在椭圆=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

不等式的解集是（0，4]，则a的取值范围是（ ）
A．a≤0
B．a＜4
C．a＜0
D．a＞0

8. 难度：中等

直线y=x+3与曲线的交点个数为（ ）
A．4个
B．1个
C．2个
D．3个

9. 难度：中等

若椭圆mx²+ny²=1与y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点连线的斜率为，则的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y）．若方程有解，则k的取值范围是（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

曲线x²+y²+6x-8y+1=0，若直线4ax-3by+6=0（a、b∈R）始终平分此曲线的周长，则ab的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知不等式 log_a（a²+1）＜log_a2a＜0，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF=，则AD与BC所成的角为    ．

14. 难度：中等

抛物线y²=x上动点P和圆（x-3）²+y²=1上动点Q间的距离|PQ|的最小值是    ．

15. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．
其中真命题的序号为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知不等式x²+a＞2ax对任意实数x恒成立，解关于x的不等式：．

17. 难度：中等

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且．
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．

18. 难度：中等

已知抛物线y²=-16x的焦点为F₁，准线与x轴的交点为F₂，在直线l：x+y-8=0上找一点M，求以F₁，F₂为焦点，经过点M且长轴最短的椭圆方程．

19. 难度：中等

双曲线x²-y²=a²（a＞0）的左焦点F₁，右焦点F₂．过F₁做倾斜角为α的弦BC，其中，当△F₂BC面积最小值为时，求a的值．

20. 难度：中等

若直线l：x+my+c=0与抛物线y²=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．
（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y²=2mx（m＞0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原点O为PQ的中点．
①求证：A、P、B三点共线；
②当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，使得l′被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值，如果存在，求出l′的方程，如果不存在，请说明理由．