2010-2011学年四川省巴中市通江中学高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x＜5}，N={x|x＞3}，那么“x∈{x|x∈M或x∈N}是“x∈M∩N”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

2. 难度：中等

复数等于（ ）
A．i
B．-i
C．
D．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₁+a₄+a₆+a₈+a₁₀=26，a₁-a₃-a₁₁=-10，则S₇=（ ）
A．20
B．22
C．26
D．28

4. 难度：中等

已知a、b、c是空间中三直线，α是空间中一平面．
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b； ②若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
③若a∥α，b∥α，则a∥b； ④若a⊂α，b∥α，a、b共面，则a∥b．
在以上四个命题中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

直线y=kx+3与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A．[-，0]
B．
C．[-]
D．[-，0]

6. 难度：中等

设f^-1（x）是f（x）=log₂（x+1）的反函数，若[1+f^-1（a）][1+f^-1（b）]=8，则f（a+b）的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．log₂3

7. 难度：中等

在二项式（-）⁶（θ为常数）的展开式中常数项为160，则tan2θ的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．-

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，则a+b=（ ）
A．0或-7
B．0
C．-7
D．1或-6

9. 难度：中等

用数字2，3，5，6，7组成没有重复数字的五位数，使得每个五位数中的相邻的两个数都互质，则得到这样的五位数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，-）
B．
C．
D．（0，+∞）

11. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，且|PF₁||PF₂|的最大值的取值范围是[2c²，3c²]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．[，]
B．[，1）
C．[，1）
D．[，]

12. 难度：中等

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xa^x（a＞0，a≠1，x＞0），-=，若数列{}（n∈N）的前n项和为S_n，则S_n=（ ）
A．
B．1
C．-2
D．-

二、填空题

13. 难度：中等

设O为坐标原点，M（2，-1），点N（x，y）满足，则•的最大值是    ．

14. 难度：中等

在实数集R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若x⊗（x+a）＜1，对任意实数x均成立，则实数a的取值范围    ．

15. 难度：中等

在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S-ABC外接球的表面积为    ．

16. 难度：中等

对于下列命题：
①函数y=-sin（kπ+x）（k∈Z）为奇函数；
②函数y=cos|x|是最小正周期为π的周期函数；
③（-x）=；
④函数y=x|x|在x=0处连续且可导．
其中正确命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期为，
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

18. 难度：中等

将编号为1，2，3，4，5的五个同质量的小球，随机地放入编号为1，2，3，4，5的五个小盒中，每盒仅放一个小球，若第i（i=1，2，3，4，5）号小球恰好放入第i号小盒，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数．
（1）求第3号小球恰好放入第3号小盒的概率．
（2）求1号小球不落入1号小盒且5号小球也不落入5号小盒的概率．
（3）求匹对的个数ξ的分布列和数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（I）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成的角；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为1，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=，且S_n=n²a_n-n（n-1），（n∈N）
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ⁺¹，b_n=f′_n（a）（a∈R，n∈N），求数列{b_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

22. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=时，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）当a=1时，设数列{}的前n项和为S_n，求证：S_n-1＜f（n）-＜S_n-1（n∈N且n≥2）．