2006-2007学年广东省深圳中学高二（上）第六学段数学试卷（选修2-1、4-5）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

以双曲线-=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是    ．

2. 难度：中等

与双曲线有共同渐近线，且过的双曲线方程是    ．

3. 难度：中等

已知抛物线的焦点在x轴上，直线y=2x-4被抛物线截得的线段长为，则抛物线的标准方程是    ．

4. 难度：中等

已知x+2y+3z=1，则x²+y²+z²取最小值时，x+y+z的值为    ．

5. 难度：中等

有下列四个命题
①方程 （x-1）²+（y+1）²=0 的解是 x=1 或y=-1；
②1是偶数或1是奇数；
③命题“正三角形的三边相等”的否定；
④不等式x²+x+1＞0 或不等式x²-x＞0的解集都是R
其中假命题是    ．

6. 难度：中等

若x＞0，y＞0，且≤a恒成立，则a的最小值是    ．

二、选择题

7. 难度：中等

已知p：|2x-3|＜1；，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件

8. 难度：中等

如果命题“P或q”为真命题，命题“P且q”为假命题，那么（ ）
A．命题P和q都是为真命题
B．命题P和q都是假命题
C．命题P与命题q同真假
D．命题P与命题“非q”同真假

9. 难度：中等

化简方程=10为不含根式的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

一动圆与两圆x²+y²=1和x²+y²-8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

11. 难度：中等

已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A．y²=16
B．x²=-8y
C．y²=16x或x²=-8y
D．y²=16x或x²=8y

12. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

若|a-c|＜|b|（a，b，c都是非零实数），那么下列各不等关系一定成立的是（ ）
A．a＜b+c
B．a＞c-b
C．|a|＜|b|+|c|
D．|a|＞|b|-|c|

14. 难度：中等

a＞0，b＞0，则不等式a＞＞-b的解为 （ ）
A．-＜x＜0或0＜x＜
B．-＜x＜0或0＜x＜
C．x＜-或x＞
D．-＜x＜

三、解答题

15. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴，抛物线上有两个动点A、B和一个定点M（2，y），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的中点到抛物线准线的距离是4，求抛物线方程．

16. 难度：中等

已知点F（1，0），直线l：x=2，设动点P到直线l的距离为d，已知|PF|=d且．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若=，求向量与的夹角．

17. 难度：中等

设m＞2，给定数列{x _n }，其中x ₁=m，x_n+1=（n∈N₊），求证：x _n＞2且．

18. 难度：中等

已知双曲线与射线y=（x≥0）公共点为P，过P作两条倾斜角互补且不重合的直线，它们与双曲线都相交且另一个交点分别为A，B（不同于P）．
（1）求点P到双曲线两条渐近线的距离之积；
（2）设直线PA斜率为k，求k的取值范围；
（3）求证直线AB的斜率为定值．

19. 难度：中等

（选做1）设a，b，c都为正数，求证：．

20. 难度：中等

（选做2）已知当a≠b及n∈N*时有公式：aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ=
（1）利用上述公式证明：对于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）（b-a） bⁿ．
（2）证明：对一切n∈N*，有（1+）ⁿ＜（1+）ⁿ⁺¹．