2009-2010学年河北省唐山一中（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线l的倾斜角为θ，，则斜率k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，]
C．（0，）
D．[，1）

5. 难度：中等

已知点P是双曲线右支上一点，F是该双曲线的右焦点，点M为线段PF的中点，若|OM|=3，则点P到该双曲线右准线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

7. 难度：中等

已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．4

8. 难度：中等

已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

与y轴相切且和曲线x²+y²=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（ ）
A．y²=-4（x-1）（0＜x≤1）
B．y²=4（x-1）（0＜x≤1）
C．y²=4（x+1）（0＜x≤1）
D．y²=-2（x-1）（0＜x≤1）

10. 难度：中等

若椭圆和连接A（1，1）、B（2，3）两点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，过抛物线y²=4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x-1）²+y²=1于A，B，C，D，则|AB|•|CD|=（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

12. 难度：中等

已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若圆锥曲线+=1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是    ．

14. 难度：中等

由曲线x²+y²=|x|+|y|所围成的图形面积为    ．

15. 难度：中等

过椭圆的一个焦点F作弦AB，若|AF|=m，|BF|=n，则=    ．

16. 难度：中等

A（5，y₁），B（x₂，y₂），C（100，y₃）是双曲线上三点，O是坐标原点．若，且AC的斜率为，则BC的斜率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在直角坐标系中，过点A（1，2）且斜率小于0的直线中，当在两轴上截距之和最小时，求该直线斜率及方程．

18. 难度：中等

已知直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：x²+y²-2x-4y-20=0．
（1）求证：直线L过定点；
（2）求直线L被圆C截得的线段最小长度，并求此时对应的m的值．

19. 难度：中等

从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N．求线段QN的中点P的轨迹方程．

20. 难度：中等

已知椭圆方程为，试确定m的范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线y=4x+m对称．

21. 难度：中等

已知双曲线，离心率e=，右准线L₂与一条渐近线L交于点P，F为右焦点，|PF|=3．
（1）求双曲线的方程；
（2）求倾斜角为，的弦AB所在直线方程．

22. 难度：中等

已知A、B两点在抛物线C：x²=4y上，点M（0，4）满足=λ．
（1）求证：⊥；
（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N．
①求证：点N在一条定直线上；
②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．