2008-2009学年江苏省南通市启东中学高三（上）12月阶段考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

M={x|x+m≥0}，N={x|x²-2x-8＜0}，若U=R，且C_UM∩N≠∅，则实数m范围    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足（2-i）z=5（i是虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

函数y=的定义域是    ．

4. 难度：中等

已知线段AB为圆O的弦，且AB=2，则=    ．

5. 难度：中等

曲线y=x³+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为    ．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}前n项和S_n=2ⁿ-1，则数列{a_n}的奇数项的前n项的和是    ．

7. 难度：中等

在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t-1，则t的取值范围为    ．

8. 难度：中等

圆x²+y²-4x-2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°则c值是    ．

9. 难度：中等

已知两个正数x，y满足x+4y+5=xy，则xy取最小值时x，y的值分别为    ，    ．

10. 难度：中等

设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．
其中正确命题的序号为    ．

11. 难度：中等

已知命题：“∃x∈[1，2]，使x²+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设抛物线x²=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=1-（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m    ．

14. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆的焦点，B为椭圆短轴的一个端点，≥则椭圆的离心率的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，．
求：（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，且，求sinα的值．

16. 难度：中等

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分别是A₁B和B₁C₁的中点．
（1）求证：BC∥平面MNB₁；
（2）当AC=AA₁时，求证：平面MNB₁⊥平面A1CB．

17. 难度：中等

已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．

18. 难度：中等

某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x-1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投资额为零时，收益为零．
（1）试求出a、b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值．（精确到0.1，参考数据：ln3≈1.10）．

19. 难度：中等

设函数f（x）=（x+1）²-2klnx．
（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；
（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+）²an，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=，求；
（3）设c_n=，求证．

21. 难度：中等

求由曲线y=x³，直线x=1及x轴所围成的曲边形面积．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点．
（1）求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（2）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（3）在（2）的条件下，求二面角F-PC-E的正切值．

23. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
已知椭圆C的极坐标方程为，点F₁、F₂为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求点F₁、F₂到直线l的距离之和．

24. 难度：中等

如图，对每个正整数n，A_n（x_n，y_n）是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n）．
（Ⅰ）试证：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．试证：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1．