2010-2011学年北京市师大附中高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（ ）
A．（-，+∞）
B．（-，1）
C．（-，）
D．（-∞，-）

2. 难度：中等

若0＜x＜y＜1，则（ ）
A．3^y＜3^x
B．log_x3＜log_y3
C．log₄x＜log₄y
D．

3. 难度：中等

设a＞1，函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（ ）
A．
B．2
C．
D．4

4. 难度：中等

若A={x|2≤2^2-x＜8，x∈Z}，B={x||log₂x|＞1，x∈R}，则A∩（C_RB）的元素个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．
C．-1或
D．1或-

6. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2ax+4（a＞0），若x₁＜x₂，x₁+x₂=0，则（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）=f（x₂）
C．f（x₁）＞f（x₂）
D．f（x₁）与f（x₂）的大小不能确定

7. 难度：中等

若是R上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（0，8）
C．（2，8）
D．（-∞，0）

二、填空题

9. 难度：中等

设，q=（lg2）²+lg20×lg5，则log₃q^p=    ．

10. 难度：中等

函数的零点个数是    个．

11. 难度：中等

若函数y=（log_0.5a）^x在R上为增函数，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设函数，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数．当x∈（-∞，0）时，f（x）=x-x⁴，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=    ．

14. 难度：中等

设偶函数f（x）对任意x∈R，都有，且当x∈[-3，-2]时，f（x）=2x，则f（2009.5）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

矩形ABCD的长AB=8，宽AD=5，动点E、F分别在BC、CD上，且CE=CF=x，
（1）将△AEF的面积S表示为x的函数f（x），求函数S=f（x）的解析式．
（2）求S的最大值．

16. 难度：中等

f（x）是定义在[-2，2]上的偶函数，且f（x）在[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m）成立，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知3^a=5^b=c，且，设函数．
（1）求c的值；
（2）记g（t）为函数f（x）在闭区间[t，t+1]（r∈R）上的最小值，利用（1）中所求的c值，试写出g（t）的函数表达式，并求出g（t）的最小值．

19. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x、y都有f：（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）；
（3）若当x＞0时，有f（x）＞0，则f（x）在R上是增函数．

20. 难度：中等

已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．