2008-2009年北京市师大附中高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．4x+2y=5
B．4x-2y=5
C．x+2y=5
D．x-2y=5

4. 难度：中等

若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．异面或相交

5. 难度：中等

如果实数x、y满足条件，那么2x-y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．-2
D．-3

6. 难度：中等

直线x-2y-3=0与圆（x-2）²+（y+3）²=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α
D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α

8. 难度：中等

圆心为的圆与直线l：x+2y-3=0交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足，则圆C的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若三个球的表面积之比是1：4：9，则它们的体积之比是     ．

10. 难度：中等

圆x²+y²-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程是x²+y²-1=0，则实数a的值是    ．

11. 难度：中等

四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD=2，AB=，则外接球面上两点A，B间的球面距离是    ．

12. 难度：中等

如图，空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF．设M、N分别是BD和AE的中点，那么
①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；
③MN∥CE；④MN、CE异面
以上4个命题中正确的是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

14. 难度：中等

如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点．求证：
（1）FD∥平面ABC；
（2）平面EAB⊥平面EDB．

15. 难度：中等

已知点P（2，0），及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．

四、填空题

16. 难度：中等

设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，则球的表面积为    ．

17. 难度：中等

如图，把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，在这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径是    ．

18. 难度：中等

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是   
A.B.C.D.．

五、解答题

19. 难度：中等

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线ax-y+5=0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为AD₁中点
（I）求三棱锥C-PDB的体积
（II）在对角线A₁C上是否存在一点Q，使得AD₁∥平面QBD，若存在，求出；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．
（I）若c_n=n，n∈N^*，求数列{b_n}的通项公式；
（II）若A∩B=Φ，且数列{c_n}的前5项成等比数列，c₁=1，c₉=8．
（i）求满足的正整数n的个数；
（ii）证明：存在无穷多组正整数对（m，n）使得不等式成立．