2007-2008学年北京市西城区高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||x-2|＜1}，B={x|（x-1）（x-4）＜0}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B=∅
B．A∪B=R
C．A⊆B
D．B⊆A

2. 难度：中等

已知向量=，向量=，那么与夹角的大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

3. 难度：中等

函数的反函数的定义域为（ ）
A．（0，+∞）
B．（0，1）
C．（-∞，0）
D．（-1，0）

4. 难度：中等

函数f（x）=sinx•cos的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．
D．2π

5. 难度：中等

若双曲线x²+ky²=1的离心率是2，则实数k的值是（ ）
A．-3
B．
C．3
D．

6. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=x³+ax²+（a-3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（ ）
A．y=-3
B．y=-2
C．y=3
D．y=2

7. 难度：中等

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）

A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

8. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有（ ）
A．85个
B．88个
C．91个
D．94个

二、填空题

9. 难度：中等

某体校有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的
样本进行体能测试，则女运动员应抽出    人．

10. 难度：中等

在（x-a）¹⁰的展开式中，x⁷的系数是15，则实数a=    ．

11. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式为a_n=n+2ⁿ（n=1，2，3，…），则{a_n}的前n项和S_n=    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）=log₂x+log₂（1-x），则f（x）的定义域是    ；f（x）的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知A，B，C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O-ABC为正四面体，那么A，B两点的球面距离为    ；点O到平面ABC的距离为    ．

14. 难度：中等

设点A（0，b），F是抛物线y²=4x的焦点，若抛物线上的点M满足（O为坐标原点），则b=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设，求AB边上的高．

16. 难度：中等

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分．现从盒内任取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和是正数的概率．

17. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求PC的长度；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

18. 难度：中等

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5m，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

19. 难度：中等

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标为，求的值．

20. 难度：中等

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n_t；
（Ⅲ）若（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n₁的取值集合．