2010-2011学年江苏省苏州市吴江市松陵高级中学高三（下）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是    ．

2. 难度：中等

一个盒子中有红、蓝两种颜色的球各一个，现从中任意摸出一个小球，然后放回，再次从中摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率为    ．

3. 难度：中等

i为虚数单位，z=1-2i，则|z²|=    ．

4. 难度：中等

若1∈{a+2，（a+1）²，a²+3a+3}，则实数a=    ．

5. 难度：中等

是奇函数，则实数a=    ．

6. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的左、右两焦点，P为椭圆上一点，若|PF₁|=3|PF₂|，则P到左准线的距离为    ．

7. 难度：中等

阅读如图的程序框图，若输入m=4，n=6，则输出的a等于    ．

8. 难度：中等

已知函数在x=1和x=3处的切线互相平行，则实数a=    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），则a₉=    ．

10. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：A₁x+B₁y=1；l₂：A₂x+B₂y=2；
l₃：A₃x+B₃y=3；直线l₁与直线l₂相交于M，直线l₂与直线l₃相交于N，金老师已经正确算出直线OM的方程为（2A₁-A₂）x+（2B₁-B₂）y=0，则直线ON的方程为
    ．

11. 难度：中等

求值：4sin20°+tan20°=    ．

12. 难度：中等

如图，有一壁画，最高点A 处离地面4 m，最低点B 处离地面2.2 m，若从离地高1.6 m的C 处观赏它，则当视角θ 最大时，C 处离开墙壁    m．

13. 难度：中等

如图，直角△ABC中，∠A=30°，∠B为直角，BC=1，D，E分别是AC，AB上的动点，且
DE∥BC，现将△ADE沿DE翻折，使得平面A'DE⊥平面BCDE，当DE运动时，四棱锥A'-BCDE体积的最大值为    ．

14. 难度：中等

设定义在D上的两个函数f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4个命题：
①“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）对任意x₁、x₂∈D恒成立”的充要条件；
②“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）对任意x₁、x₂∈D恒成立”的充分不必要条件；
③“a＞d”是“f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立”的充要条件；
④“a＞d”是“f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立”的充分不必要条件．
其中正确的命题是    （请写出所有正确命题的序号）．

二、解答题

15. 难度：中等

平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，5），D是AC上的动点，满足（λ∈R）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求cos∠BAC；
（Ⅲ）若，求实数λ的值．

16. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，且∠PCA=∠PCB．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）设正△ABC的中心为O，△PAB的重心为G，求证：OG∥平面PAC．

17. 难度：中等

如图所示，上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达了位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，轮船始终以匀速直线前进．
（Ⅰ）求观测点A与B之间的距离；
（Ⅱ）求轮船的速度．

18. 难度：中等

已知圆G过点A（2，0），B（5，3），C（3，-1），过点A的直线l₁，l₂，分别交圆G于点M，N（M，N不与A重合），且它们的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=0．
（Ⅰ）求圆G的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN的斜率为定值．

19. 难度：中等

我们用部分自然数构造如下的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i、j为正整数），使a_i1=a_ii=i；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为b_n．
（Ⅰ）试写出b₂-2b₁，b₃-2b₂，b₄-2b₃，b₅-2b₄，并推测b_n+1和b_n的关系（无需证明）；
（Ⅱ）证明数列{b_n+2}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出p、q、r的关系；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）试确定f₃（x）和f₄（x）的单调区间及相应区间上的单调性；
（Ⅱ）说明方程f₄（x）=0是否有解，并且对正整数n，给出关于x的方程f_n（x）=0的解的一个一般结论，并加以证明．