《第2章 圆锥曲线与方程》2010年单元测试卷（瓯海中学）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

曲线y=|x|与曲线与y=所围成的图形面积是（ ）
A．π
B．或
C．
D．不确定

2. 难度：中等

设F₁，F₂为定点，|F₁F₂|=6，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=6，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段

3. 难度：中等

方程y=ax+b和a²x²+y²=b²（a＞b＞1）在同一坐标系中的图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数n的值是（ ）
A．±5
B．±3
C．5
D．9

5. 难度：中等

双曲线kx²+4y²=4k的离心率小于2，则k的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（-3，0）
C．（-12，0）
D．（-12，1）

6. 难度：中等

设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（ ）
A．（0，]
B．（，）
C．（0，）
D．[，）

7. 难度：中等

与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（-3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

8. 难度：中等

抛物线y²=ax（a≠0）的准线方程是（ ）
A．x=-
B．x=
C．x=-
D．x=

9. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．

10. 难度：中等

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=    ．

12. 难度：中等

在椭圆+=1内以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程为    ．

13. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=    ．

14. 难度：中等

设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为    ．

15. 难度：中等

直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

若直线y=ax-1（a∈R）与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC，A（-2，0），B（0，-2），第三个顶点C在曲线y=3x²-1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．

18. 难度：中等

求与圆（x-3）²+y²=1及（x+3）²+y²=9都外切的动圆圆心的轨迹方程．

19. 难度：中等

正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，求这个正三角形的边长．

20. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=-x+1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．

21. 难度：中等

已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

22. 难度：中等

设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为x²=8（y-b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．