2009-2010学年北京市朝阳区高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．棱柱的底面一定是平行四边形
C．棱锥的底面一定是三角形
D．用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面

2. 难度：中等

给下列几种关于投影的说法，正确的是（ ）
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．平行直线的平行投影仍是平行直线
C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点
D．中心投影的投影线是互相平行的

3. 难度：中等

如图（1）、（2）、（3）为三个几何体的三视图，根据三视图可以判断这三个几何体分别为（ ）
A．三棱台、三棱柱、圆台
B．三棱锥、圆锥、圆台
C．四棱锥、圆锥、圆台
D．四棱锥、圆台、圆锥

4. 难度：中等

已知两个球的半径之比为1：2，则这两个球的表面积之比为（ ）
A．1：2
B．1：4
C．1：6
D．1：8

5. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．如果直线a和平面α满足α∥a，那么a与α内的任何直线平行
C．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
D．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

6. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别为AA₁、AB、BB₁、BC₁的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）

A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

7. 难度：中等

若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出的下面四个命题中正确的是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β
B．α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β
C．l∥α，α⊥β⇒l⊥β
D．α⊥γ，β⊥r⇒α∥β

8. 难度：中等

一条直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设直线l的方程为：y=kx+b；当k＜0，b＜0时，直线l不通过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

10. 难度：中等

方程y=k（x+1）表示（ ）
A．通过点（1，0）的所有直线
B．通过点（-1，0）的所有直线
C．通过点（-1，0）且不垂直于x轴的直线
D．通过点（-1，0）且除去x轴的直线

11. 难度：中等

已知两圆的方程分别是（x+1）²+（y-1）²=4，（x-2）²+（y-1）²=1，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．内含
C．外切
D．内切

12. 难度：中等

已知直线l：y=x+m与半圆C：x²+y²=4（y≥0）有两个公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知各面都是正三角形的四面体棱长为1，则它的表面积是    ．

14. 难度：中等

一个正方体的八个顶点都在球面上，它的棱长为1，则球的半径为    ．

15. 难度：中等

过点（1，1）与直线2x+y-1=0垂直的直线方程为    ．

16. 难度：中等

已知点M（1，1，1）是以点O为坐标原点的空间坐标系Oxyz中的一点，则|OM|=    ；点M关于y轴的对称点M'的坐标是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-2x-4y-4=0．
（I）设圆C与x轴交于A、B两个点，求线段AB的长；
（II）过点（4，3）作圆C的切线，求切线的方程．

18. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）求CD₁与平面ADD₁A₁所成角；
（II）求证：CD₁∥平面A₁BD；
（III）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

四、填空题

19. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的个棱长均为1，且AA₁⊥底面ABC，E、F分别是AB、A₁C₁的中点，则EF的长是    ．

20. 难度：中等

若一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的高是    ；底面边长是    ．

21. 难度：中等

△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，若该三角形绕边BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是    ．

22. 难度：中等

已知点P（2，2），Q（0，1），直线l：x-y-1=0，则点P关于点Q的对称点P₁坐标是    ；点P关于直线l的对称点P₂的坐标是    ．

23. 难度：中等

已知A（-1，0），B（1，0），点C、点D满足，则点C的轨迹方程是    ；点D的轨迹方程是    ．

24. 难度：中等

已知对于圆x²+（y-1）²=1上任一点P（x，y），不等式x+y+a≤0恒成立，则实数a的取值范围是    ．

五、解答题

25. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G、F分别是AD、PB的中点．
（I）求证：PA⊥CD；
（II）证明：GF⊥平面PCB；
（III）求二面角A-PB-C的大小．

26. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y+k=0（k＜5）；
（I）若k=1，圆C内有一点P（-2，3），经过P的直线l与圆C交于A、B两点，当弦AB恰被P平分时，求直线l的方程；
（II）若圆C与直线x+y+1=0交于P、Q两点，是否存在实数k，使OP⊥OQ（O为原点）？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．