2008-2009学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

过空间一点与已知平面垂直的直线有（ ）
A．0条
B．1条
C．0条或1条
D．无数条

2. 难度：中等

正方体中与一条面对角线异面的棱有（ ）条．
A．2
B．4
C．6
D．8

3. 难度：中等

已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2：1，则它的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

经过圆x²+2x+y²=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ ）
A．x+y+1=0
B．x+y-1=0
C．x-y+1=0
D．x-y-1=0

5. 难度：中等

把三个不同的小球分别放入四个编号不同的盒子里（每个盒子至多放一个球），则不同的放法有（ ）种．
A．C₄³
B．A₄³
C．3⁴
D．4³

6. 难度：中等

关于不同的两条直线m，n与两个平面α，β，有下面四个命题．其中真命题是（ ）
A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
B．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
D．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

7. 难度：中等

若集合M={x|C_x^x-2＜x}，则集合M的元素个数为（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．以上答案都不对

8. 难度：中等

若双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是8，那么点P到双曲线左准线的距离是（ ）
A．12
B．
C．35
D．

9. 难度：中等

（文）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA₁=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）

A．
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

某人射击8枪，命中4枪，若恰好有一次连中两枪，则不同的情况有（ ）种．
A．5
B．15
C．30
D．60

11. 难度：中等

正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，并且，设EF与AC所成角为α，EF与BD所成角为β，则α+β=（ ）
A．30°
B．45°
C．90°
D．与λ的取值有关

12. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为过正方体表面正方形ABCD，BCC₁B₁，A₁B₁C₁D₁，A₁D₁DA的中心的圆上的一动点，Q为正方形ABCD的内切圆上的一动点，则PQ的最大值与最小值之和为（ ）

A．
B．
C．2
D．

二、填空题

13. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

从5名男生和3名女生中选出3名代表，要求既要有女生又要有男生，则不同的选法的种数为    （用数字作答）

15. 难度：中等

一个立方体的六个面上分别标有颜色红、蓝、黑、紫、绿、白，右图是此立方体的两种不同放置，则与蓝色面相对的面上的颜色是    ．

16. 难度：中等

以下各命题：
①若棱柱的两个相邻侧面是矩形，则它是直棱柱；
②若用一个平行于三棱锥底面的平面去截它，把这个三棱锥分成体积相等的两部分，则
截面面积与底面面积之比为；
③垂直于两条异面直线，且到它们的距离都为同一定值d（d＞0）的直线一共有4条；
④存在侧棱长与底面边长相等的正六棱锥．
其中正确的有    （填写正确命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

某班有4名男生、2名女生和1名教师合影，要求站成一排，问：
（1）教师站最中间，有多少种站法？
（2）女生不相邻，有多少种站法？
（3）教师两边恰好都站女生，有多少种站法？

18. 难度：中等

如图，矩形ABCD和矩形BCEF所在平面互相垂直，G为边BF上一点，∠CGE=90°，，GE=2．
（1）求证：直线AG∥平面DCE；
（2）当AB=时，求直线AE与面ABF所成的角．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求点B到平面OAC的距离．

20. 难度：中等

已知抛物线C以原点为顶点，焦点F在x轴上，其准线交x轴于点N，点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记抛物线的准线交x轴于点N，过点N直线l交抛物线于A、B两点，若△ABF的面积为，求直线l的方程．

21. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．
（1）求证：CD⊥平面BDM；
（2）求二面角A-BD-C的大小．

22. 难度：中等

如图1，椭圆的下顶点为C，A，B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动，满足，其中O为坐标原点，现沿x轴将坐标平面折成直二面角．如图2所示，在空间中，解答下列问题：
（1）证明：OC⊥AB；
（2）设二面角O-BC-A的平面角为α，二面角O-AC-B的平面角为β，二面角O-AB-C的平面角为θ，求证：cos²α+cos²β+cos²θ=1；
（3）求三棱锥O-ABC的体积的最小值．