2008-2009学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n-3）条时，第一步验证n等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

2. 难度：中等

给出四个表格如下：

ξ	1	2	3	ξ	1	3	5
P	0.7	0.1	0.1	P	0.5	0.3	0.2
①				②
ξ	2	3	4	ξ	-1	2	-3
P	-0.9	0.1	0.8	P	0.25	0.43	0.37
③					④

其中，能表示离散型随机变量分布列的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

复数z=等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

有4名师范毕业生全部分配到3所中学任教，每校至少有1名，则不同的分配方案有（ ）
A．18种
B．36种
C．54种
D．72种

5. 难度：中等

设n∈N^*，则（1+3）⁸的展开式中第五项的二项式系数为（ ）
A．13608
B．5670
C．70
D．56

6. 难度：中等

若曲线C：y=x³-2ax²+2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．-1

7. 难度：中等

已知（-）ⁿ（n∈N^*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，则展开式中含项是第（ ）
A．一项
B．二项
C．四项
D．六项

8. 难度：中等

曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积为（ ）
A．
B．2
C．+ln2
D．-ln2

9. 难度：中等

设（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

10. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

11. 难度：中等

函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内存在极小值，则下列关系成立的是（ ）
A．b＞0
B．0＜b＜1
C．b＜1
D．0＜b＜

12. 难度：中等

从5双不同号码的鞋子中任取4只，则这4只鞋子至少有2只可配成一双的可能有（ ）
A．120种
B．130种
C．240种
D．250种

二、填空题

13. 难度：中等

设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），且P（ξ≥1）=，则P（η≥1）=    ．

14. 难度：中等

任意向（0，1）区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，则令事件A={x|0＜x＜}，B={x|＜x＜1}，则P（B|A）=    ．

15. 难度：中等

实验员从8种化学药品中选出4种，放在4个不同的瓶子里，如果甲、乙两种药品不宜放入1号瓶，则不同的放法有    种．

16. 难度：中等

下列说法正确的是    ．（填入所有正确序号）
①若（1-x）⁷=a+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，则a₂+a₄+a₆=64；
②（1-x）⁷展开式中系数最小项是第5项；
③若令x=100，则（1-x）⁷被1000除，余数是301；
④（1-x）+（1-x）²+…+（1-x）⁷的展开式中含x⁵项的系数是-28．

三、解答题

17. 难度：中等

已知复数z=3+ai，且|z-2|＜2，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

19. 难度：中等

甲、乙两名射手进行轮流射击训练，甲先射击，当有一人3次击中目标时射击终止．假设每次射击时，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，各次射击的结果间互不影响．
（1）求当射击终止时，恰好甲、乙共射击5次的概率；
（2）在（1）条件下，求乙击中目标的次数X的分布列．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（2x²-kx+k）•e^-x．
（1）当k为何值时，f（x）无极值；
（2）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0．

21. 难度：中等

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，商家按合同规定也需随机抽样做检验，以决定是否接收这批产品．
（1）厂家在一批数量很大的产品中进行抽检，若每件产品合格的概率为，从中任意取出3件进行检验，求可能检验出不合格产品数X的分布列；
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格．按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数Y的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．

22. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．