2009-2010学年陕西省延安市实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（1-i）²-i=（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．3
D．-3i

2. 难度：中等

物体运动方程为，则t=2时瞬时速度为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

3. 难度：中等

抛物线y²=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（ ）
A．（9，6）
B．（6，9）
C．（±6，9）
D．（9，±6）

4. 难度：中等

若复数（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是虚数，则实数m满足（ ）
A．m≠-1
B．m≠6
C．m≠-1或m≠6
D．m≠-1且m≠6

5. 难度：中等

由直线x=1，x=2，曲线y=x²及x轴所围图形的面积为（ ）
A．3
B．7
C．
D．

6. 难度：中等

曲线y=x³-1在x=1处的切线方程为（ ）
A．y=2x-2
B．y=3x-3
C．y=1
D．x=1

7. 难度：中等

已知f（a）=∫¹（2ax²-a²x）dx，则f（a）的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若，则f'（x）等于（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

9. 难度：中等

设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，若|PF₁|=3，则|PF₂|=（ ）
A．1或5
B．6
C．7
D．9

10. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

椭圆+=1上的点M到焦点F₁的距离为2，N为MF₁的中点，则|ON|（O为坐标原点）的值为    ．

12. 难度：中等

若，则实数k的值为    ．

13. 难度：中等

椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则实数m的值是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3ax²+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值．

17. 难度：中等

若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且f（1）=4，f′（1）=1，∫¹f（x）dx=，求函数f（x）的解析式．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=3x³-9x+5．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

19. 难度：中等

用数学归纳法证明：．

20. 难度：中等

如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₁的中点，求证：∠ATM=∠AF₁T．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（2x+1），其中b≠0．
（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；
（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立．