2008-2009学年湖南省永州市祁阳县陶铸中学等八校高二（上）联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点P（-1，3，-4），且该点在三个坐标平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐标依次为（x₁，y₁，z₁），（x₂，y₂，z₂）和（x₃，y₃，z₃），则（ ）
A．x₂²+y₃²+z₁²=0
B．x₁²+y₂²+z₃²=0
C．x₃²+y₁²+z₂²=0
D．以上结论都不对

2. 难度：中等

设A、B两点的坐标分别为（-1，0），（1，0），条件甲：； 条件乙：点C的坐标是方程 +=1 （y≠0）的解．则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件

3. 难度：中等

与圆x²+y²=1及圆x²+y²-8x+12=0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上
B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上
D．一个圆上

4. 难度：中等

下列命题中真命题的个数为（ ）
①若
②若
③若a，b∈R，则a²+b²+5≥2（2a-b）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

若抛物线C以坐标原点为顶点，以双曲线的顶点为焦点且过第二象限，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．x=3
B．y=-4
C．x=3或y=-4
D．x=4或y=-3

6. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则A₁到平面AB C₁D₁的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

“若x，y∈R且x²+y²=0，则x，y全为0”的否命题是（ ）
A．若x，y∈R且x²+y²≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R且x²+y²≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R且x，y全为0，则x²+y²=0
D．若x，y∈R且xy≠0，则x²+y²≠0

8. 难度：中等

过点（0，2）与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线有（ ）
A．无数多条
B．3条
C．2条
D．1条

9. 难度：中等

已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

10. 难度：中等

在下列四个命题中
①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则．
②若{}为空间的一组基底，则{}也构成空间的一组基底．
③．
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若（其中x，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中正确的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

11. 难度：中等

直线Ax+By+C=0（A²+B²≠0）与双曲线的公共点，最多有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

12. 难度：中等

已知二面角α-l-β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，且PA=4，PB=5，点A、B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

给出下列命题：①命题“∃x∈R，x²-2x-3＞0”的否定“∀x∈R，x²-2x-3＜0”②若命题“¬p”为真，命题“p∨q为真，则命题q为真；③若q是q的必要不充分条件，则命题“若p则q”的否命题是真命题，逆否命题是假命题．其中正确命题是    （把你认为正确的命题序号都填上）

14. 难度：中等

已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为     ．

15. 难度：中等

下列各小题中，P是q的充要条件的是    （08年山东理改编）
（1）p：m＜-2或m＞6；q：y=x²+mx+m+3有两个不同的零点．
（2）p：=1，q：y=f（x）是偶函数．
（3）p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ．
（4）p：A∩B=A，q：C_UB⊆C_UA．

16. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若M为的棱BB₁的中点，则异面直线B₁D与AM所成角的余弦值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数的定义域为A．
（1）求集合A．
（2）设p：x∈A，q：x＞a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

19. 难度：中等

设双曲线的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，F₁、F₂是左、右焦点，是双曲线上一点，且∠F₁PF₂=60，，又离心率为2，求双曲线的方程．

20. 难度：中等

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱BC，DC上的动点，且BE=CF．
（1）求证：B₁F⊥D₁E；
（2）当三棱锥C₁-FCE的体积取到最大值时，求二面角C₁-FE-C的正切值．

21. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）求点C到平面A₁BD的距离．

22. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁、F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的直线l'与椭圆交于C、D两点，若，求直线l'的方程．