2008-2009学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=-2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

函数y=sinx的图象上一点处的切线的斜率为（ ）
A．1
B．
C．
D．

3. 难度：中等

由直线x=1，x=2，曲线y=x²及x轴所围图形的面积为（ ）
A．3
B．7
C．
D．

4. 难度：中等

物体运动方程为，则t=2时瞬时速度为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

5. 难度：中等

复数z=1+i的共轭复数=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若，则f'（x）等于（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

8. 难度：中等

有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x³的极值点．以上推理中（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确

9. 难度：中等

函数（ ）
A．在（0，2）上单调递减
B．在（-∞，0）和（2，+∞）上单调递增
C．在（0，2）上单调递增
D．在（-∞，0）和（2，+∞）上单调递减

10. 难度：中等

平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，则f（n）的表达式为（ ）
A．2n
B．2ⁿ
C．n²-n+2
D．2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）

二、填空题

11. 难度：中等

已知平行四边形OABC的顶点A、B分别对应复数1-3i，4+2i．O为复平面的原点，那么顶点C对应的复数是    ．

12. 难度：中等

若，则实数k的值为    ．

13. 难度：中等

观察以下不等式

可归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式，则不等式右端f（n）的表达式应为    ．

14. 难度：中等

下列是关于复数的类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由实数绝对值的性质|x|²=x²类比得到复数z的性质|z|²=z²；
③已知a，b∈R，若a-b＞0，则a＞b．类比得已知z₁，z₂∈C，若z₁-z₂＞0，则z₁＞z₂；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中推理结论正确的是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=3x³-9x+5．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

用数学归纳法证明：．

17. 难度：中等

把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

四、填空题

18. 难度：中等

已知复数z₁=2+i（i为虚数单位），z₂在复平面上对应的点在直线x=1上，且满足是纯虚数，则|z₂|=    ．

19. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-ax在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是    ．

20. 难度：中等

已知正弦函数y=sinx具有如下性质：若x₁，x₂，…x_n∈（0，π），则 ≤sin（）（其中当 x₁=x₂=…=x_n时等号成立）．根据上述结论可知，在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为    ．

21. 难度：中等

对于函数f（x）=（2x-x²）e^x
（1）是f（x）的单调递减区间；
（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；
（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．
其中判断正确的是    ．

五、解答题

22. 难度：中等

给定函数和
（I）求证：f（x）总有两个极值点；
（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．

23. 难度：中等

设函数．
（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件；
（II）若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a²-6恒成立，求实数a的取值范围．