2010-2011学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-3＜0}，那么集合（C_UA）∩B=（ ）
A．{x|-1≤x＜3}
B．{x|-1＜x＜3}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＞3}

2. 难度：中等

已知点A（-1，1），点B（2，y），向量=（1，2），若，则实数y的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

3. 难度：中等

已知△ABC中，，B=45°，则角A等于（ ）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°

4. 难度：中等

在极坐标系中，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是（ ）
A．ρ=cosθ
B．ρ=sinθ
C．ρcosθ=1
D．ρsinθ=1

5. 难度：中等

阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]
B．[-2，-1]
C．[-1，2]
D．[2，+∞）

6. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若8a₂+a₅=0，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）

A．A'C⊥BD
B．∠BA'C=90°
C．△A'DC是正三角形
D．四面体A'-BCD的体积为

8. 难度：中等

对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ ）
A．①
B．②
C．①③
D．①②

二、填空题

9. 难度：中等

i为虚数单位，则=    ．

10. 难度：中等

在（2+x）⁵的展开式中，x²的系数为    ．

11. 难度：中等

若实数x，y满足条件则2x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

（选做题）（几何证明选讲）如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A，B两点，BA=2AP，PT与圆C相切于T点．
已知圆C的半径为2，∠CAB=30°，则PT=    ．

13. 难度：中等

双曲线C：x²-y²=1的渐近线方程为    ；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ；圆x²+y²=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若点在角α的终边上，求f（α）的值；
（Ⅱ）若，求f（x）的值域．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

17. 难度：中等

一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．

18. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（ⅰ）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a₁应满足的条件．