2010-2011学年浙江省温州市瓯海中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知1-i是方程x²+ax+2=0的一个根，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．4
D．-4

2. 难度：中等

函数f（x）=xlnx在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．y=2x-1
B．y=2
C．y=
D．y=x-1

3. 难度：中等

物体的运动方程，则它的初始速度是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，其中第100项是（ ）
A．10
B．13
C．14
D．100

5. 难度：中等

已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，-4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．（x≠0）
B．（x≠0）
C．（x≠0）
D．（x≠0）

6. 难度：中等

过双曲线的一个焦点F作一条渐线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．x-2y=0
B．x+2y-4=0
C．2x+3y-12=0
D．x+2y-8=0

8. 难度：中等

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax+b有两个不同的零点x₁，x₂，且1＜x₁＜x₂＜3，那么在f（1），f（3）两个函数值中（ ）
A．只有一个小于1
B．至少有一个小于1
C．都小于1
D．可能都大于1

10. 难度：中等

对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x）且 a＞0，则以下正确的是（ ）
A．f（a）＞e^a•f（0）
B．f（a）＜e^a•f（0）
C．f（a）＞f（0）
D．f（a）＜f（0）

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线的离心率是    ．

12. 难度：中等

复数z=m²-m+（m-1）（m-2）i，m∈R是纯虚数的充要条件为    ．

13. 难度：中等

抛物线y²=8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为    ．

14. 难度：中等

设复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，若|z|=1，则x+y的最大值为    ．

15. 难度：中等

观察下图：
1
2  3  4
3  4  5  6  7
4  5  6  7  8  9  10
…
则第    行的各数之和等于2011²．

16. 难度：中等

定义运算，则对复数z，符合条件的复数z为    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a＜0）有两个极值点x₁=1，x₂=3，当时，f（x）＜3d²恒成立，则d的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设a，b，x，y∈R⁺，且a²+b²=1，x²+y²=1，试证：ax+by≤1．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点M（4，1）是椭圆上一定点，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OAB面积的最大值．（点O为坐标原点）

20. 难度：中等

如图，函数f（x）=ax³+bx²+cx+d图象与x轴相切于原点．
（1）求证：b＞0
（2）已知x₁=1，设g（x）=ex²，若在[0，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂））使得点m处的切线l∥AB，则称AB存在“伴侣切线”．特别地，当X=时，又称AB存在“中值伴侣切线”．
（1）函数f（x）=x²图象上两点A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侣切线”；
（2）若函数f（x）=lnx，试问：在函数f（x）上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．