2010年河南高三备考套数学压轴题试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知a∈R，函数，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

2. 难度：中等

已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；
（2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

3. 难度：中等

函数的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x）的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列；的项中仅最小，求λ的取值范围；
（3）令函数，0＜x＜1．数列{x_n}满足：，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．证明：．

4. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e）其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

5. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-．

7. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

8. 难度：中等

如图，设F是椭圆：（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

9. 难度：中等

古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n∈N*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．现用a_n表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和（i，j∈N*）；（其中表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
证明：≤++…+＜（n∈N^*）．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）当时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0，），直线AB的斜率为k，且满足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；
（2）对（1）中的抛物线C，若直线l：y=x+m（m＞0）与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围．

12. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹ （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞成立，求m的最大值；
（Ⅲ）令c_n=（-1）ⁿ⁺¹，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T_2n＜．

13. 难度：中等

各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+≤对一切n∈N⁺恒成立．

14. 难度：中等

已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x²+（y-1）²=8内切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程．
（Ⅱ）以为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、B，在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）．若存在，求出所有的P点的坐标与直线l的方程；若不存在，请说明理由．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．

16. 难度：中等

A﹑B﹑C是直线l上的三点，向量﹑﹑满足：-[y+2f'（1）]•+ln（x+1）•=；
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；          
（Ⅱ）若x＞0，证明f（x）＞；
（Ⅲ）当时，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，数列{a_n}满足a₁=4，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²-2的大小．

18. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），点C在抛物线y²=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
（2）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值及△PF₁F₂的面积．