2009-2010学年北京大学附中高三（上）入学摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|-1＜x＜5}，则集合{x|-1＜x＜2|是（ ）
A．（∁_UA）∪（∁_UB）
B．∁_U（A∪B）
C．（∁_UA）∩B
D．A∩B

2. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

3. 难度：中等

已知a，b都是实数，那么“a²＞b²”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数，满足f（x）＞1的x的取值范围（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．x|x＞0或x＜-2
D．x|x＞1或x＜-1

5. 难度：中等

函数y=cos（2x+）-2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于．
A．（，-2）
B．（，2）
C．（，-2）
D．（，2）

6. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

7. 难度：中等

已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，那么下列结论中错误的是（ ）

A．f（1-x）+f（x+1）=0
B．f′（x）（x-1）≥0
C．f（x）（x-1）≥0
D．f（x）=f（0）

8. 难度：中等

对于数列{a_n}，若存在常数M，使得对任意n∈N^*，a_n与a_n+1中至少有一个不小于M，则记作{a_n}＞M，那么下列命题正确的是（ ）
A．若{a_n}＞M，则数列{a_n}各项均大于或等于M
B．若{a_n}＞M，{b_n}＞M，则{a_n+b_n}＞2M
C．若{a_n}＞M，则{a_n²}＞M²
D．若{a_n}＞M，则{2a_n+1}＞2M+1

二、填空题

9. 难度：中等

设非零向量、、满足||=||=||，+=，则=    ．

10. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₂=9，a₅=243，则{a_n}的前4项和为     ．

11. 难度：中等

有四个关于三角函数的命题：
（1）∃x∈R，sin²+cos²=；
（2）∃x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
（3）∀x∈[0，π]，=sinx；
（4）sinx=cosy⇒x+y=．
其中假命题的序号是     ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂|x||的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则a+b的取值范围是    ．

13. 难度：中等

右表给出一个等差数阵：其中每行每列都是等差数列，a_ij表 示第i行第j列的数（i，j∈N^*）则a₄₅=    ，a_ij=    ．

4	7	…	a1j	…
7	12	…	a2j	…
…	…	…	…	…
ai1	ai2	…	aij	…
…	…	…	…	…

14. 难度：中等

有一系列函数，如果它们解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这一系列函数为“同族函数”．那么函数的解析式为y=x²，值域为{1，2}的同族函数有    个；若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式为y=x²的函数的值域，设a_n表示该函数的同族函数的个数，则a₁+a₂+…+a_n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）和一次函数g（x）的图象都经过原点，且f（x+1）=f（x）+2x，．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：．

16. 难度：中等

设S_n是公差不为0的等差数列a_n的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．（1）求的值；（2）若a₅=9，求a_n及S_n，的表达式．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求ϕ和ω的值．

18. 难度：中等

已知函数，讨论f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知抛物线y=x²，直线y=kx+2，直线与抛物线所围成封闭图形的面积记为S（k）．
（1）当k=1时，求出此时S（k）对应的值；
（2）写出S（k）的表达式，并求出对应的最大和最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a=-时，得到有穷数列：-，-1，0．
（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=（n∈N₊），求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（Ⅲ）若＜a_n＜2（n≥4），求a的取值范围．