2010-2011学年江苏省苏北高三（上）1月联考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={0，m}，B={n|n²-3n＜0，n∈Z}若A∩B≠∅，则m的值为    ．

2. 难度：中等

已知复数z的实部为1，虚部为-2，则的虚部为    ．

3. 难度：中等

顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是    ．

4. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-3，则f（-2）=    ．

5. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），=（1，-2），且∥，则tanx=    ．

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x-y+1=0垂直，则实数a=    ．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则x²+y²-2x-2y的最小值为    ．

8. 难度：中等

等比数列{a_n}中，S_n表示前n顶和，a₃=2S₂+1，a₄=2S₃+1，则公比q为    ．

9. 难度：中等

曲线C：f（x）=sinx+e^x+2在x=0处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

已知xy＞0，则的最小值为    ．

11. 难度：中等

直线与圆x²+y²=2相交于A，B两点，O为原点，则=    ．

12. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于    ．

13. 难度：中等

已知直线kx-y+1=0与圆C：x²+y²=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足，且t＜a₁＜t+1，其中t＞2，若a_n+k=a_n（k∈N^*），则实数k的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的分别是a、b、c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

16. 难度：中等

如图，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A（4，m）在椭圆E上，且，点D（2，0）到直线F₁A的距离．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点P位椭圆E上的任意一点，求的取值范围．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d为整数，且满足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，数列{b_n}满足，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若S₂为S₁，S_m（m∈N*）的等比中项，求m的值．

18. 难度：中等

某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC=120°，
按照设计要求，其横截面面积为平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周
长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米．
（Ⅰ）当h为多少米时，用料最省？
（Ⅱ）如果水渠的深度设计在的范围内，求横截面周长的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（Ⅱ）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

21. 难度：中等

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

22. 难度：中等

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线（t为参数）相交于A，B两点．求线段AB的长．

23. 难度：中等

某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立．又知电梯只在有人下时才停止．
（I）求某乘客在第i层下电梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；
（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望．

24. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．