2008-2009学年福建省泉州市惠安县惠南中学高二（上）期末数学试卷（选修2-1）（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c
B．若a≤b，则a+c≤b+c
C．若a+c＜b+c，则a＜b
D．若a+c≤b+c，则a≤b

2. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

4. 难度：中等

抛物线x²=2y的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．（1，0）
D．（0，1）

5. 难度：中等

双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知，，若，则x等于（ ）
A．-26
B．-10
C．2
D．10

7. 难度：中等

如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，MF的垂直平分线CD交OM于P，则点P的轨迹是（ ）

A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

8. 难度：中等

如图，在高为4的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，则直线AB₁与DA₁所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

抛物线y²=8x上的点（x，y）到其焦点的距离为3，则|y|=（ ）
A．
B．
C．2
D．4

10. 难度：中等

设α∈[0，π]，则方程不能表示的曲线是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

11. 难度：中等

已知P是椭圆上的点，若PF₁⊥PF₂，（其中F₁、F₂是椭圆的左、右焦点），则这样的点P有（ ）
A．0个
B．2个
C．4个
D．8个

12. 难度：中等

已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

“a和b都不是偶数”的否定形式是（ ）
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数

14. 难度：中等

如图，点O是正方形纸片ABCD的中心，点E，F分别为AD，BC的中点，现沿对角线AC把纸片折成直二面角，则纸片折后∠EOF的大小为（ ）

A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

15. 难度：中等

已知椭圆（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．
B．或
C．或
D．

二、填空题

16. 难度：中等

已知命题p：3是奇数，命题q：矩形的对角线互相垂直且平分，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”，“¬p”形式的命题中，真命题有     个．

17. 难度：中等

已知点A（1，0，-3）和向量，则点B的坐标为    ．

18. 难度：中等

已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为    ．

19. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且被抛物线的准线截得的弦长为2的圆的方程是    ．

20. 难度：中等

已知，，，其中，，为单位正交基底，若F₁，F₂，F₃共同作用在一个物体上，使物体从点M₁（1，-2，1）移到点M₂（3，1，2），则合力所作的功为    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且过点P（2，3），求双曲线的渐近线及椭圆的方程．

22. 难度：中等

如图，在空间四边形OABC中，M，G分别是BC，AM的中点，设，，．
（1）用基底表示向量；
（2）若，且与、夹角的余弦值均为，与夹角为60°，求．

23. 难度：中等

如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到0.1m）

24. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小．

25. 难度：中等

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．