2008-2009学年河南省豫东三校高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能

2. 难度：中等

下列命题不正确的是（ ）
A．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直
B．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直
C．两异面直线的公垂线有且只有一条
D．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行

3. 难度：中等

下面四个条件：①平行于同一个平面②垂直于同一直线③与同一平面所成的角相等④分别垂直于两个平行平面，其中，能够判定空间两条直线平行的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是（ ）
A．各侧面是正三角形
B．底面是正方形
C．各侧面三角形的顶角为45度
D．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上

5. 难度：中等

下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）
（1）PA⊥矩形ABCD所在平面，则P，B两点间的距离等于P到BC的距离；
（2）若a∥b，a⊄α，b⊂α，则a与b的距离等于a与α的距离；
（3）直线a，b是异面直线，a⊂α，b∥α则a，b之间的距离等于b与α之间的距离；
（4）直线a，b是异面直线，a⊂α，b⊂β，且α∥β，则a，b之间的距离等于α与β之间的距离．
A．一个
B．二个
C．三个
D．四个

6. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB，BB₁的中点，A₁E与C₁F所成的角是θ，则（ ）
A．θ=60°
B．θ=45°
C．
D．

7. 难度：中等

从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．140种
B．120种
C．35种
D．34种

8. 难度：中等

A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）
A．24种
B．60种
C．90种
D．120种

9. 难度：中等

在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个

11. 难度：中等

如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）

A．arcsin
B．arccos
C．arcsin
D．arccos

12. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的体积为V，AB∥CD，且AB：CD=2：3，点Q是PA的中点，则三棱锥Q-PBC的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知两异面直线a，b所成的角为，直线l分别与a，b所成的角都是θ，则θ的取值范围是    ．

14. 难度：中等

椭圆方程为，a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则焦点在y轴上的不同椭圆有    个．

15. 难度：中等

在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是以下几何形体的4个顶点：
①矩形；②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确的说法是    ．（填上正确答案的序号）

16. 难度：中等

有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a（a＞0），用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知空间四边形OABC中，OA=OB，CA=CB，E、F、G、H分别为OA、OB、BC、CA的中点，求证：四边形EFGH是矩形．

18. 难度：中等

从{-3，-2，-1，0，1，2，3，}中任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax²+bx+c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线有多少条？

19. 难度：中等

球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到该截面的距离为球的半径的一半．
（1）求球的体积；
（2）求A，C两点的球面距离．

20. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=a，，求AB₁与侧面AC₁所成的角．

21. 难度：中等

已知在三棱锥S-ABC中，底面是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，M，N分别是AB，SB的中点，SA=SC=：
（1）求证AC⊥SB
（2）求二面角N-CM-B的大小
（3）求点B到面CMN的距离．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点
（1）求证：EF∥平面SAD
（2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小．