2009-2010学年河北省衡水市故城县郑口中学高二（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如果实数x、y满足x+y=4，则x²+y²的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

3. 难度：中等

已知曲线C₁：y=-x²+4x-2，C₂：y²=x，若C₁，C₂关于直线l对称，则l的方程是（ ）
A．x+y+2=0
B．x+y-2=0
C．x-y+2=0
D．x-y-2=0

4. 难度：中等

不等式组表示的平面区域是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若抛物线与圆x²+y²-2ax+a²-1=0有且只有三个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜1
B．
C．
D．a=1

6. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

7. 难度：中等

用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β
D．a⊂α，b∥β，α⊥β

9. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

用1、2、3、4、5、6中的两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的不同的对数值共有（ ）
A．30个
B．21个
C．20个
D．15个

11. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）=0.45，则P（ξ＞2）为（ ）
A．0.45
B．0.05
C．0.55
D．0.5

12. 难度：中等

某通信公司推出一组手机号码，卡号的前七位数字固定，后四位从0000～9999．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“6”或“8”的一律作为“好运卡”，则这组号码中，“好运卡”的概率为（ ）
A．0.4096
B．0.6305
C．0.5
D．0.5904

二、填空题

13. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，则异面直线BD₁与AD所成角的余弦是    ．

14. 难度：中等

已知，当mn取得最小值时，直线与曲线交点个数为    ．

15. 难度：中等

已知的展开式的第五项是常数项，则n=    ．

16. 难度：中等

下列说法中：
①函数是减函数；
②在平面上，到定点（2，-1）的距离与到定直线3x-4y-10=0距离相等的点的轨迹是抛物线；
③设函数，则f（x）+f'（x）是奇函数；
④双曲线的一个焦点到渐近线的距离是5；
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知不等式x²-2x-3＜0的解集为A，不等式x²+4x-5＜0的解集为B．
（1）求A∪B．
（2）若不等式x²+ax+b＜0的解集是A∪B，求ax²+x+b＜0的解集．

18. 难度：中等

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

19. 难度：中等

设A={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，x，y∈N^*}
（1）求从A中任取一个元素是（1，2）的概率；
（2）从A中任取一个元素，求x+y≥10的概率
（3）设η为随机变量，η=x+y，求Eη．
（2）设从A中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有（4，6）（6，4）（5，5）（5，6）（6，5）（6，6）

20. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小．

21. 难度：中等

双曲线（a，b＞0），一焦点到其相应准线的距离为，过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为，
（1）求该双曲线的方程；
（2）是否存在直线y=kx+5 （k≠0）与双曲线交于相异两点C，D，使得 C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，若存在，求出直线方程；若不存在说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点
对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数g（x）的定义域和值域均为[m，n]，且其解析式为f（x）的解析式？若存在，求出这样一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由．