2007-2008学年江苏省南通市海门中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD的（ ）
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心

2. 难度：中等

设r＞0，两圆（x-1）²+（y+3）²=r²与x²+y²=16可能（ ）
A．相离
B．相交
C．内切或内含或相交
D．外切或外离

3. 难度：中等

圆台上、下底面半径和母线的比为1：4：5，高为8，那么它的侧面积为（ ）
A．50π
B．100π
C．150π
D．200π

4. 难度：中等

设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b．其中正确的个数有
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

直线 l与直线y=1和x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，-1），那么直线 l的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

桌面上摆着一些相同的小正方体木块，从正南方向看如图（1），从正西方向看如图（2），那么桌上至少有这样的小正方体木块（ ）

A．20块
B．16块
C．10块
D．6块

二、填空题

7. 难度：中等

经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是    ．

8. 难度：中等

一正四棱柱的侧面展开图后是一张长12cm，宽8cm的矩形铁皮，这个四棱柱的体积是    ．

9. 难度：中等

圆：x²+y²-4x+6y=0和圆：x²+y²-6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是    ．

10. 难度：中等

设点M是点N（2，-3，5）关于坐标平面xoy的对称点，则线段MN的长度等于    ．

11. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁+a₅=82，a₂•a₄=81，则a₃=    ．

12. 难度：中等

直线截圆x²+y²=4得劣弧所对的圆心角为    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是    ．

14. 难度：中等

已知圆柱的高为h，底面半径为R，轴截面为矩形A₁ABB₁，在母线AA₁上有一点P，且PA=a，在母线BB₁上取一点Q，使B₁Q=b，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为    ．

15. 难度：中等

如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为    ．

16. 难度：中等

直线2ax+by-2ab+6=0（a＞0，b＞0）平分圆（x-1）²+（y-2）²=4的面积，则ab的最小值等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，，BC=6
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P-BD-A的大小．

18. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

19. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=，B₁B=BC=1，
（1）求D D₁与平面ABD₁所成角的大小；
（2）求面B D₁C与面A D₁D所成二面角的大小；
（3）求AD的中点M到平面D₁B C的距离．

20. 难度：中等

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（Ⅰ）若l₁与圆相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，求证：AM•AN为定值．

21. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，请确定点D的位置，若不存在，请说明理由；
（3）请指出点D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为2，并证明你的结论．

22. 难度：中等

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）…对于正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，，求证：．