2010-2011学年湖南省长沙市长郡中学高三分班考试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＜3}，B={1，2，3，4}则（∁_RA）∩B=（ ）
A．{4}
B．{3，4}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

命题“∀x＞0，都有x²-x≤0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，使得x²-x≤0
B．∃x＞0，使得x²-x＞0
C．∀x＞0，都有x²-x＞0
D．∀x≤0，都有x²-x＞0

3. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

4. 难度：中等

如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积（ ）

A．6
B．
C．24
D．3

5. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

按如程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ ）

A．i＞5
B．i≥7
C．i＞9
D．i≥9

7. 难度：中等

若等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₇成等比数列，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（x）＞1成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）
B．（-，+∞）
C．（-2，-）
D．（-∞，-2）∪（-，+∞）

9. 难度：中等

设a，b是两个单位向量，命题p：“（2a+b）⊥b”是命题a：“a•b”的夹角等于成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

二、填空题

11. 难度：中等

已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若按照0.618法优选，则第2次试点的加入量为    g．

12. 难度：中等

在区间[1，9]上随机取一实数，则该实数在区间[4，7]上的概率为    ．

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B与平面A₁B₁CD 所成的角的大小等于    ．

14. 难度：中等

已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+7=0，则圆心到直线距离为     ．

15. 难度：中等

将所有3的幂，或者是若干个不相等的3的幂之和，由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…，则此数列的第100项为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），f（x）=
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且f（A）=2，a=，b=1，求角C．

17. 难度：中等

甲，乙两人进行射击比赛，每人射击6次，他们命中的环数如下表：

甲	5	8	7	9	10	6
乙	6	7	4	10	9	9

（Ⅰ）根据上表中的数据，判断甲，乙两人谁发挥较稳定；
（Ⅱ）把甲6次射击命中的环数看成一个总体，用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程的n的值．

19. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且
与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
（ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
（ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．