2007-2008学年四川省资阳市简阳中学高二年（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合S={y|y=x²+1，x∈R}，T={z|z=-2x，x∈R}，则S∩T=（ ）
A．{-1}
B．{（-1，2）}
C．R
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

如果数列{a_n}的前n项和为，那么这个数列的通项公式为（ ）
A．a_n=2（n²+n+1）
B．a_n=3×2ⁿ
C．a_n=3n+1
D．a_n=2×3ⁿ

3. 难度：中等

已知a＞b，则下列不等式①a²＞b²②③中不一定成立的个数是（ ）
A．3
B．1
C．0
D．2

4. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

5. 难度：中等

已知向量，，其中x＞0，若，则x的值是（ ）
A．4
B．8
C．0
D．2

6. 难度：中等

若则sinθ•cosθ=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若f（n）=1+（n∈N*），则当n=1时，f（n）为（ ）
A．1
B．
C．
D．非以上答案

8. 难度：中等

已知直线l₁：x+my+5=0和直线l₂：x+ny+p=0，则l₁、l₂关于y轴对称的充要条件是（ ）
A．=
B．p=-5
C．m=-n且p=-5
D．=-且p=-5

9. 难度：中等

已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y-x）（y+x）≤0}，M=A∩B则M的面积是（ ）
A．1
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交，则P（a，b）的位置是（ ）
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．都有可能

11. 难度：中等

设点A（-2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-]∪[，+∞）
B．（-，）
C．[-，]
D．（-∞，-]∪[，+∞）

12. 难度：中等

已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x²+y²=r²内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r²，则（ ）
A．m∥n且n与圆O相离
B．m∥n且n与圆O相交
C．m与n重合且n与圆O相离
D．m⊥n且n与圆O相离

二、填空题

13. 难度：中等

已知，0≤β≤π，则2的范围是    ．

14. 难度：中等

当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的最大值是    ．

15. 难度：中等

已知直线l经过点（0，3），方向向量，则直线l的方程为    ．

16. 难度：中等

己知x＞0，由不等式，启发我们可以推广结论：，则m=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．

18. 难度：中等

已知n条直线l₁：x-y+C₁=0，C₁=，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形的面积；
（3）求x-y+C_n-1=0与x-y+C_n=0及x轴、y轴围成图形的面积．

19. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R
（1）直线l是否过定点，有则求出来？判断直线与圆的位置关系及理由？
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

20. 难度：中等

已知两圆x²+y²=9和（x-3）²+y²=27，求大圆被小圆截得劣弧的长度．

21. 难度：中等

有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（如图），为保证所需的磁通量，要求正十字形的面积为，为了使用来绕铁芯的铜线最省（即正十字形的外接圆周长最短）．应如何设计正十字形的长和宽？

22. 难度：中等

已知直线l：y=k （x+2）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．