2010-2011学年福建师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

2. 难度：中等

有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x³的极值点．以上推理中（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确

3. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

4. 难度：中等

曲线在点P（0，1）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

5. 难度：中等

某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y与时间t的函数图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，由曲线y=x²-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（ ）

A．1
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

函数f（x）=xe^-x的（ ）
A．极大值为e^-1
B．极小值为e^-1
C．极大值为-e
D．极小值为-e

8. 难度：中等

用数学归纳法证明1+2+3+…+n²=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
A．k²+1
B．（k+1）²
C．
D．（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

9. 难度：中等

下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（ ）
A．e^x＞e
B．x-x²＞0
C．sinx＞-x+1
D．x＞ln（1+x）

10. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f'（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（0，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第    象限．

12. 难度：中等

一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于    ．

13. 难度：中等

已知x＞0，观察下列几个不等式：；；；；…；归纳猜想一般的不等式为    ．

三、解答题

14. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．

15. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

16. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设x＞0，y＞0，且x+y=1，证明：≤．

四、选择题

17. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f^′（x）为f（x）的导函数，函数y=f^′（x）的图象如图所示，且f（-2）=1，f（3）=1，则不等式f（x²-6）＞1的解集为（ ）

A．（2，3）
B．（-，）
C．（2，3）∪（-3，-2）
D．（-∞，-）∪（，+∞）

18. 难度：中等

如图所示，正方形OACB内的阴影区域的上边界是曲线y=sinx，现向正方形区域内随机等可能地投点，则点落在阴影区域的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

19. 难度：中等

若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜b＜a

五、填空题

20. 难度：中等

若复数z满足，则|z+1|的值为    ．

21. 难度：中等

对于等差数列{a_n}有如下命题：“若{a_n}是等差数列，a₁=0，s、t是互不相等的正整数，则有（s-1）a_t-（t-1）a_s=O”．类比此命题，给出等比数列{b_n}相应的一个正确命题是：
“    ”．

六、解答题

22. 难度：中等

已知函数（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

23. 难度：中等

已知函数．
（I）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．