2008-2009学年河北省唐山一中高二（下）期末调研数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知椭圆的两焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），P为椭圆上的一点，且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，该椭圆的方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

2. 难度：中等

双曲线-=1的两个焦点分别是F₁，F₂，双曲线上一点P到F₁的距离是12，则P到F₂的距离是（ ）
A．17
B．7
C．7或17
D．2或22

3. 难度：中等

若则2x+y的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[-，]
C．[-，]
D．[-，]

4. 难度：中等

已知平面α、β都垂直于平面γ，且α∩γ=α，β∩γ=b给出下列四个命题：
①若a⊥b，则α⊥β； ②若α∥b，则α∥β； ③若α⊥β，则a⊥b；④若α∥β，a∥b．
其中真命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

5. 难度：中等

已知P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上的一点，若PF₁⊥PF₂，tan∠PF₁F₂=，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若二面角α-l-β为，直线m⊥α，则β所在平面内的直线与m所成角的取值范围是（ ）
A．（0，
B．[，
C．，
D．，

7. 难度：中等

三棱锥A-BCD中，△ABC和△DBC是全等的正三角形，边长为2，且AD=1，则此三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设x₁、x₂∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x₁*x₂=（ x₁+x₂）²-（ x₁-x₂）²，若x≥0，则动点P（x，）的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

9. 难度：中等

下列命题：（1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱．
（2）对角面是全等的矩形的平行六面体是长方体．
（3）长方体一定是正四棱柱．
（4）相邻两侧面是矩形的棱柱是直棱柱．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

PA垂直于△ABC所在的平面，若AB=AC=13，BC=10，PA=12，则P到BC的距离为（ ）
A．12
B．10
C．13
D．

11. 难度：中等

已知a、b是一对异面直线，且a、b成60°角，则在过P点的直线中与a、b所成角均为60°的直线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

12. 难度：中等

已知点P是椭圆：+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上一点，且•=0，则|OM|的取值范围是（ ）
A．[0，3）
B．（0，2）
C．[2，3）
D．[0，4]

二、填空题

13. 难度：中等

点P到点A（1，0）和直线x=-1的距离相等，且点P到直线y=x的距离等于，这样的点P的个数为    ．

14. 难度：中等

Rt△ABC的斜边AB在平面a内，且平面ABC和平面a所成二面角为60°，若直角边AC和平面a成角45°，则BC和平面a所成角为    ．

15. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，则点B到平面AMN的距离是    ．

16. 难度：中等

已知双曲线-y²=1的虚轴的上端点为B，过点B引直线l与双曲线的左支有两个不同的公共点，则直线l的斜率的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知抛物线的焦点在直线l：x-2y-4=0上，求抛物线的标准方程．

18. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为，求双曲线的方程．

19. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，点M在侧棱BB₁上．
（1）若BM=，求异面直线AM与BC所成的角；
（2）若AB₁⊥BC₁，求棱柱的高BB₁．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD
（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）求直线PC与底面ABCD所成角的大小；
（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．

21. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，O为底面对角线的交点；
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角的正切值．

22. 难度：中等

已知点（x，y）在椭圆C：（a＞b＞0）的第一象限上运动．
（Ⅰ）求点的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）若把轨迹C₁的方程表达式记为y=f（x），且在内y=f（x）有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．