2011年河南省安阳市高二综合检测数学试卷（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=4-2t+t²，则该物体在4秒末的瞬时速度是（ ）
A．12米/秒
B．8米/秒
C．6米/秒
D．8米/秒

2. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

给出下列四个命题：1）若z∈C，则z²≥0； 2）2i-1虚部是2i； 3）若a＞b，则a+i＞b+i；4）若z₁，z₂∈C，且z₁＞z₂，则z₁，z₂为实数；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

在复平面内复数（1+bi）（2+i）（i是虚数单位，b是实数）表示的点在第四象限，则b的取值范围是（ ）
A．b＜-
B．b＞-
C．-＜b＜2
D．b＜2

5. 难度：中等

下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列{a_n}的通项公式为（n∈N₊）
C．半径为r圆的面积S=πr²，则单位圆的面积S=π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，推测空间直角坐标系中球的方程为（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²=r²

6. 难度：中等

已知，若f'（-1）=8，则f（-1）=（ ）
A．4
B．5
C．-2
D．-3

7. 难度：中等

若函数f（x）=lnx-ax在点P（1，b）处的切线与x+3y-2=0垂直，则2a+b等于（ ）
A．2
B．0
C．-1
D．-2

8. 难度：中等

设f（x）是一个多项式函数，在[a，b]上下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的极值点一定是最值点
B．f（x）的最值点一定是极值点
C．f（x）在[a，b]上可能没有极值点
D．f（x）在[a，b]上可能没有最值点

9. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，计算a₂，a₃，，然后猜想a_n=（ ）
A．n
B．n²
C．n³
D．-

11. 难度：中等

已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e^af（0）大小关系为（ ）
A．f（a）＜e^af（0）
B．f（a）＞e^af（0）
C．f（a）=e^af（0）
D．f（a）≤e^af（0）

二、填空题

12. 难度：中等

若复数z=（a-2）+3i（a∈R）是纯虚数，则=    ．

13. 难度：中等

已知f（n）=1+，经计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，推测当n≥2时，有f（2ⁿ）＞    ．

14. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=    ．

15. 难度：中等

半径为r的圆的面积S（r）=πr²，周长C（r）=2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr²）′=2πr①．
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于①的式子②：    ，②式可以用语言叙述为：    ．

三、解答题

16. 难度：中等

抛物线y=x²-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积．

17. 难度：中等

已知a＞b＞c，求证：．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：，且a_n＞0，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

19. 难度：中等

甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t²（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

20. 难度：中等

设函数f（x）=xe^kx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．