2010-2-11学年广东省广州市白云区太和中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x²≤1}．则A∩B=（ ）
A．{x|-1≤x＜2}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜2}
D．{x|1≤x＜2}

2. 难度：中等

若函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），则函数f（x）周期为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

3. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²+ax+1＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-x+1≥0
B．∀x∈R，x²-x+1＜0
C．∀x∈R，x²-x+1≥0
D．∀x∈R，x²-x+1＜0

4. 难度：中等

若log_ab有意义，则“log_ab＜0”是“（a-1）（b-1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不不要条件

5. 难度：中等

如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的是（ ）
①命题“p且q”是真命题
②命题“p且q”是假命题
③命题“p或q”是真命题
④命题“p或q”是假命题．
A．②③
B．②④
C．①③
D．①④

6. 难度：中等

函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

为了得到函数y=lg（2x+3）-1的图象，只需把函数y=lg（2x+1）的图象上所有的点（ ）
A．向左平移1个单位长度的，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度的，再向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度的，再向下平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度的，再向下平移1个单位长度

8. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．（0，1）
C．[0，+∞）
D．（-∞，1）

二、填空题

11. 难度：中等

若为奇函数，则实数a=    ．

12. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+1在点（1，-1）处的切线方程为    ．

13. 难度：中等

已知f（x）是奇函数，定义域为{x|x∈R，x≠0}，若f（x）在（0，+∞）是增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）＞f（-x）的解集是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x，若f（a）+f（b）=2，则a+b的最小值是     ．

15. 难度：中等

已知f（x）=-（x²-ax+3a）在区间[2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式f（x）＜x+5．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

设函数y=f（x），x∈R．
（1）若函数y=f（x）为偶函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）为周期函数．
（2）若函数y=f（x）为奇函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）是以4a为周期的函数．
（3）请对（2）中求证的命题进行推广，写出一个真命题，并予以证明．

19. 难度：中等

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

20. 难度：中等

记函数f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈S，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）设函数f（x）=log₂（1-2^x），判断f（x）是否是M的元素；
（2）f（x）=∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．