2007-2008学年湖南省永州市祁阳二中高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果点（4，a）到直线4x-3y-1=0的距离不大于3，那么a的取值范围是（ ）
A．[0，10]
B．
C．（0，10）
D．（-∞，0]∪[10，+∞）

2. 难度：中等

如果a＞b，那么在①；②a³＞b³；③lg（a²+1）＞lg（b²+1）；④2^a＞2^b中，正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

如果椭圆上一点P到焦点F₁的距离为6，则点P到另一个焦点F₂的距离为（ ）
A．5
B．4
C．8
D．6

4. 难度：中等

若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（ ）
A．b∥α
B．b与α相交
C．b⊂α
D．以上三种情况都有可能

5. 难度：中等

若不等式＞0的解为-3＜x＜-1或x＞2，则a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．-

6. 难度：中等

已知斜率为k的直线y=kx被圆x²+y²=2所截，截得的弦AB的长等于（ ）
A．4
B．2
C．
D．

7. 难度：中等

若直线l过点（3，0）与双曲线4x²-9y²=36只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

8. 难度：中等

在空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD上的中点，则MN与的大小关系为（ ）
A．相等
B．MN＜
C．MN＞
D．不能确定

9. 难度：中等

（A题） （奥赛班做）已知F₁、F₂为双曲线的焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠PF₁F₂=30°，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

我国发射的“嫦娥1号”绕月卫星的运行轨道是以月球的中心F₂为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，月球半径为R千米，则卫星运行轨道的短轴长为（ ）
A．mn
B．2mn
C．2
D．

11. 难度：中等

已知||=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若动点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别在直线l₁：x+y-7=0和l₂：x+y-5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

三个平面最多可以将空间分为    部分．

14. 难度：中等

如果实数x，y满足条件那么2x-y的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m²+n²的最小值是    ．

16. 难度：中等

过点M（1，2）的直线l将圆A：（x-2）²+y²=9分成两段弧，其中当劣弧最短时，直线l的方程为    ．

17. 难度：中等

设抛物线 y²=4x的一条弦AB以为中点，则该弦所在直线的斜率为    ．

18. 难度：中等

（A题） （奥赛班做）已知椭圆E的离心率为e，左右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C以F₁顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个交点，，则e的值为    ．

19. 难度：中等

（B题） （普通班做）已知点A（-2，0），点B（2，0），点C在直线x+2y-2=0上运动，则△ABC的重心的轨迹方程是    ．

三、解答题

20. 难度：中等

求经过l₁：2x-3y+2=0与l₂：3x-4y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程．
（1）过点（1，1）；
  （2）平行于直线2x-y-2=0．

21. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是侧面对角线AB₁、BC₁的中点，
（1）求证：EF∥平面ABCD
（2）求两条异面直线AB₁与BC₁所成的角．

22. 难度：中等

已知椭圆的准线平行于x轴，长轴长是短轴长的3倍，且过点（2，3）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率； 
（Ⅱ）求椭圆的标准方程，并写出准线方程．

23. 难度：中等

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程．

24. 难度：中等

（A题） （奥赛班做）有三个信号监测中心A、B、C，A位于B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°，相距4千米．在A测得一信号，4秒后，B、C才同时测得同一信号，试建立适当的坐标系，确定信号源P的位置（即求出P点的坐标）．（设该信号的传播速度为1千米/秒，图见答卷）

25. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R
（1）直线l是否过定点，有则求出来？判断直线与圆的位置关系及理由？
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

26. 难度：中等

平面内动点M与点P₁（-2，0），P₂（2，0），所成直线的斜率分别为k₁、k₂，且满足．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|．
（1）求k的值；
（2）若点，求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

27. 难度：中等

已知椭圆与直线l：mx-y-m=0
（1）求证：对于m∈R，直线l与椭圆C总有两个不同的交点；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线l的倾斜角．