2008-2009学年福建省泉州市惠安县惠南中学高二（下）期中数学试卷（理科）（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=2-3i对应的点z在复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

曲线y=在点（1，-）处切线的倾斜角为（ ）
A．1
B．
C．
D．-

3. 难度：中等

函数y=xlnx的单调递减区间是（ ）
A．（e^-4，+∞）
B．（-∞，e^-1）
C．（0，e^-1）
D．（e，+∞）

4. 难度：中等

设f（x）=x³，f（a-bx）的导数是（ ）
A．3（a-bx）
B．2-3b（a-bx）²
C．3b（a-bx）²
D．-3b（a-bx）²

5. 难度：中等

“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（ ）
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形

6. 难度：中等

用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

7. 难度：中等

方程x³-6x²+9x-10=0的实根个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

10. 难度：中等

若z_l=a+2i，z₂=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为    ．

11. 难度：中等

函数y=2x+sinx的单调递增区间是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）=    ，当n＞4时f（n）=    （用n表示）

14. 难度：中等

图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（5）=    ；f（n）-f（n-1）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

求抛物线y=3-2x-x²与x轴围成的封闭图形的面积．

16. 难度：中等

△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求函数f（x）在[-3，]上的最大值和最小值；
（2）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

18. 难度：中等

已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大．

19. 难度：中等

数列{a_n}满足，前n项和
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

20. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．