2009-2010学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各个关系式中，正确的是（ ）
A．∅={0}
B．
C．{3，5}≠{5，3}
D．{1}⊆{x|x²=x}

2. 难度：中等

已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（ ）
A．2
B．5
C．6
D．8

3. 难度：中等

函数f（x）=lg（3x-1）的定义域为（ ）
A．R
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x	1	2	3
f （x）	6.1	2.9	-3.5

那么函数f （x）一定存在零点的区间是（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，+∞）

5. 难度：中等

一旅馆有100间相同的客房，经过一段时间经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：

每间房定价	100元	90元	80元	60元
住房率	65%	75%	85%	95%

要使每天的收入最高，每间房定价应为（ ）
A．100元
B．90元
C．80元
D．60元

6. 难度：中等

函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知a=3^0.5，b=0.5³，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b

8. 难度：中等

下列四组函数中是相同函数的一组是（ ）
A．
B．y=lgx-2，
C．y=41gx，y=21gx²
D．y=（x-1），y=1

9. 难度：中等

函数，则函数f（x）的增值区间为（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，-1）
D．（3，+∞）

10. 难度：中等

函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，若对于x₁，x₂∈R都有f（x₁）+f（x₂）≥f（-x₁）+f（-x₂）成立，则必有（ ）
A．x₁≥x₂
B．x₁≤x₂
C．x₁+x₂≥0
D．x₁+x₂≤0

二、填空题

11. 难度：中等

已知f（x+1）=2x+3，则f（3）=    ．

12. 难度：中等

二次函数f（x）满足f（0）=-3，f（1）=f（-3）=0，那么f（x）=    ．

13. 难度：中等

记f（x）=2^x的反函数为y=f^-1（x），则f^-1（4）=    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，则当x＜0时，f（x）=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（n）对任意实数n都满足条件：，若f（1）=8，则f（2009）=    ．

16. 难度：中等

用[x]表示不超过x的最大整数，如果，那么f[f（-0.5）]=    ．

17. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-2，0∪（0，2]上的奇函数，当x＞0，f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是    ．

18. 难度：中等

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=取函数f（x）=2^-|x|．当K=时，函数f_K（x）的单调递增区间为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

计算：
（1）
（2）．

20. 难度：中等

设集合A={x|-4≤x≤3}，B={x|x＜-1或x＞4}，求A∪B，∁_RA∪∁_RB．

21. 难度：中等

北京奥运会纪念章特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（x∈N*）．
（Ⅰ）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；
（Ⅱ）当每枚纪念章的销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值．

22. 难度：中等

已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数，x∈[-2，-1]的值域．

23. 难度：中等

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证f（x）=x．