2007-2008学年浙江省宁波二中高二（下）期末数学试卷（理科）（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x_i，x_i+1]上的近似值（ ）
A．只能是左端点的函数值f（x_i）
B．只能是右端点的函数值f（x_i+1）
C．可以是该区间内的任一函数值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]）
D．以上答案均正确

2. 难度：中等

已知z₁=m²-3m+m²i，z₂=4+（5m+6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z₁-z₂=0，则m的值为（ ）
A．4
B．-1
C．6
D．0

3. 难度：中等

已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（ ）
A．|x+y|+|x-y|＞2
B．x²+y²＜1
C．x+y＜1
D．xy+1＞x+y

4. 难度：中等

设f （x）为可导函数，且满足=-1，则曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（ ）
A．2
B．-1
C．
D．-2

5. 难度：中等

若a、b、c是常数，则“a＞0且b²-4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

函数f（x）=x³-ax²-bx+a²在x=1处有极值10，则点（a，b）为（ ）
A．（3，-3）
B．（-4，11）
C．（3，-3）或（-4，11）
D．不存在

7. 难度：中等

x+y+z=1，则2x²+3y²+z²的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

曲线y=e^x，y=e^-x和直线x=1围成的图形面积是（ ）
A．e-e^-1
B．e+e^-1
C．e-e^-1-2
D．e+e^-1-2

9. 难度：中等

（文）若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设f（x）=x²+x+（a，b∈R），当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值为m，则m的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

二、填空题

11. 难度：中等

定义运算，若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z=    ．

12. 难度：中等

如图，数表满足：
（1）第n行首尾两数均为n；
（2）表中递推关系类似杨辉三角，记第n（n＞1）行第2个数为f（n）．根据表中上下两行数据关系，可以求得当n≥2时，f（n）=    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=n²x²（1-x）ⁿ（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为    ．

14. 难度：中等

设a_i∈R₊，x_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁²+a₂²+…a_n²=1，x₁²+x₂²+…x_n²=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是    ．
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．

三、解答题

15. 难度：中等

（1）求定积分∫₁^-2|x²-2|dx的值；
（2）若复数z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，且为纯虚数，求|z₁|

16. 难度：中等

现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为l，要使其体积最大，求高为多少？

17. 难度：中等

已知函数
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数a与b，恒有．

18. 难度：中等

（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
（1）设a_i∈R₊，b_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n=2，求证：
（2）设a_i∈R₊（i=1，2，…n），求证：．

19. 难度：中等

设数列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄并由此猜测a_n的一个通项公式；
（2）当a₁≥3时，证明对所的n≥1，有
①a_n≥n+2
②