2010-2011学年福建省厦门一中高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R²如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R²为0.98
B．模型2的相关指数R²为0.80
C．模型3的相关指数R²为0.50
D．模型4的相关指数R²为0.25

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∀x∈R，x²≥
B．命题“若x=1，则x²=1”的逆命题
C．∃x∈R，x²≥
D．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题

4. 难度：中等

已知圆x²+y²-6x-2y-6=0与抛物线y²=2px（p＞0）的准线相切，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

双曲线的一个焦点是（0，2），则实数m的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

7. 难度：中等

过原点且倾斜角为60°直线被圆x²+y²-4y=0所截得的弦长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．2

8. 难度：中等

右图是判断“美数”的流程图．在[30，40]内的所有整数中，“美数”的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，若|PF₁|=3，则|PF₂|=（ ）
A．1或5
B．6
C．7
D．9

10. 难度：中等

已知曲线C：y=，直线l：x+y+2k-1=0，当x∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞-
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

用反证法证明命题“直线与双曲线至多有一个公共点”时，假设为    ．

12. 难度：中等

若全称命题“∀x∈R，x²-x+a＞0”为真命题，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．则认为该药物对预防疾病有效果的把握大约为    ．

	患病	未患病	总计
服用药	20	60	80
没服用药	20	20	40
总计	40	80	120

14. 难度：中等

设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为     ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知复数z满足：|z|=1+3i-z，
（1）求z并求其在复平面上对应的点的坐标；
（2）求的共轭复数．

16. 难度：中等

某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示

年201X（年）		1	2	3	4
人口数Y（十万）	5	7	8	11	19

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（2）据此估计2015年，该城市人口总数．
（参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132）

17. 难度：中等

抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）求弦长|AB|；   （2）试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系．

四、填空题

18. 难度：中等

面积为S的矩形中，其周长的最小值为    ．

19. 难度：中等

已知直线l：x-y+4=0与圆C：x²+y²-2x-2y=0，则圆C上各点到l的距离的最小值为    ．

20. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则△PF₁F₂的面积等于    ．

21. 难度：中等

把正整数1，2，3，4，5，6，…按某种规律填入下表，

	2			6			10			14
1		4	5		8	9		12	13		…
	3			7			11			15

按照这种规律继续填写，2011出现在第    行第    列．

五、解答题

22. 难度：中等

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处的切线与直线x+2y-2=0互相垂直，且导函数f′（x）的图象关于直线对称．
（1）求a，b的值；（2）若f（x）的图象与g（x）=x²的图象有且仅有三个公共点，求c的取值范围．

23. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，第二象限内的点P在椭圆上，以P为圆心的圆与x轴相切于点F₁．
（I）若a=3，∠F₁PF₂=60°，求圆P的方程；
（II）若|F₁F₂|=4，且圆P与y轴相交，求实数a的取值范围．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=，g（x）=sinx-x（其中常数a，b∈R，π是圆周率）．
（I）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；
（II）求函数f（x）的单调递增区间；
（III）当b=0，a∈（，π]时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．