2006-2007学年吉林省长春市东北师大附中高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设棱锥的底面面积是8cm²，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行底面的截面）的面积是（ ）
A．4cm²
B．
C．2cm²
D．

2. 难度：中等

已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

用0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？（ ）
A．156
B．360
C．216
D．144

4. 难度：中等

从6名学生中，选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F和顶点数V分别等于（ ）
A．F=6，V=26
B．F=20，V=12
C．F=12，V=20
D．F=8，V=24

6. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，∠BAB₁=∠B₁A₁C₁=30°，则这个长方体的对角线的长是（ ）
A．
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

五个身高均不相同的学生排成一排，高个子站中间，从中间到左边和从中间到右边均一个比一个矮，则这样的排法共有（ ）
A．6种
B．8种
C．12种
D．16种

8. 难度：中等

正三棱锥的底面边长为1，侧棱与底面所成角为45°，则它的斜高等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若的展开式中，只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．120
B．220
C．462
D．210

10. 难度：中等

已知一个四棱锥的顶点到底面四边形各顶点的距离相等，则该棱锥的底面一定不可能是（ ）
A．平行四边形
B．直角梯形
C．菱形
D．矩形

11. 难度：中等

4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；选乙题答对得90分，答错得-90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）
A．48
B．36
C．24
D．18

12. 难度：中等

从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A．56
B．52
C．48
D．40

二、填空题

13. 难度：中等

某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是    cm，表面积是    cm²．

14. 难度：中等

若在（1+ax）⁵的展开式中x³的系数为-80，则a=    ．

15. 难度：中等

正三棱柱的底面边长为1，过下底面一边的一个截面与底面成60°的角，且交相对棱于一点，则截面三角形的面积为    ．

16. 难度：中等

四面体ABCD中，有如下命题：
①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC；
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；
④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体．
其中正确命题的序号是    （填上所有正确命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

5人站成一排．
（1）有多少种不同排法？
（2）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种排法？
（3）甲乙必须相邻，有多少不同排法？
（4）甲乙不能相邻有多少不同排法？

18. 难度：中等

如表为杨辉三角，它除了可以直观看出二项式系数性质之外，还可以计算11的乘方．如11¹=11，它的各位数字依次为右表第一行中的两个数字，11²=121，它的各位数字依次为右表第二行中的3个数字，11³=1331它的各位数字依次为右表第三行中的4个数字．请你用所学知识说明理由，并根据它计算11⁵．

19. 难度：中等

已知球O 的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，求球心O 到平面ABC的距离．

20. 难度：中等

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为A的正方体．
（1）求点D到平面CB₁D₁的距离．
（2）求直线C₁B₁与平面CB₁D₁所成的角．

21. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
（Ⅱ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

22. 难度：中等

如图，已知SA=AB=BC=1，以SC为斜边的Rt△SAC≌Rt△SBC，．
（1）求二面角A-SB-C的大小．
（2）求异面直线AS，BC所成角．