2010-2011学年北京市西城区（北区）高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．∀x∈R，x+1＞0
B．∀x∈R，x²-1≥0
C．∃x∈R，|x|+1＜0
D．∃x∈R，x²≤0

2. 难度：中等

设抛物线的焦点为F（-2，0），则抛物线的标准方程是（ ）
A．y²=-8
B．x²=-8y
C．y²=-4
D．x²=-4y

3. 难度：中等

已知向量=（1，m，2），=（-2，-1，2），且cos=，那么实数m=（ ）
A．-4
B．4
C．
D．-

4. 难度：中等

“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

若椭圆的离心率是，则实数k的值是（ ）
A．3或
B．
C．2或
D．

6. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=，AA₁=1，那么=（ ）
A．1
B．
C．-1
D．-

7. 难度：中等

已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则二面角A-BC-D的大小是（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°

8. 难度：中等

已知命题“（¬p）∨（¬q）”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p∧q”是真命题；     ②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题；     ④命题“p∨q”是假命题．
其中正确的结论为（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

9. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A（1，0，2），B（0，2，1）．点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设椭圆的两个焦点是F₁，F₂，点P在椭圆上，且，那么点P到椭圆中心的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-x-1＞0”的否定是：    ．

12. 难度：中等

已知向量（3，4，5），=（0，0，1），那么cos＜，＞=    ．

13. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为    ；渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点是F₁，F₂，点P在椭圆上，且PF₁⊥F₁F₂，那么|PF₂|=    ．

15. 难度：中等

已知平面α的一个法向量是=（1，1，-1），且平面α经过点A（1，2，0）．若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是    ．

16. 难度：中等

已知两点A（1，0），B（b，0），若抛物线y²=4x上存在点C，使得△ABC为正三角形，则b=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是，直线x-y-2=0与抛物线相交于M，N两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：OM⊥ON．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=2
（1）求直线AC₁和A₁B₁所成角的大小；
（2）求直线AC₁和平面ABB₁A₁所成角的大小．

19. 难度：中等

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C₁上的动点P满足．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设曲线C₂的方程为|x|+|y|=m（m＞0），当C₁和C₂有四个不同的交点时，求实数m的取值范围．

四、填空题

20. 难度：中等

对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm）的茎叶图，那么甲组青年的平均身高是    cm．若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为175cm的概率为    ．

21. 难度：中等

期中考试后，学校对高二年级的数学成绩进行统计，全年级500名同学的成绩全部介于60分与100分之间．将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图，由图中数据可知，成绩大于或等于80分的学生人数为    ．
若要从全体学生中，用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数应为    ．

22. 难度：中等

当如图所示的程序框图输出的结果为6时，处理框中①处的数应该是    ．

23. 难度：中等

一个袋中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．现从袋中随机取一个球，记该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号为n，那么随机事件“|m-n|≤1”的概率是    ．

24. 难度：中等

已知圆的半径是1，A为圆周上的一个定点，在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率是    ．

25. 难度：中等

已知n次多项式．
①当x=x时，求S_n（x）的值通常要逐项计算，如：计算S₂（x）=a₂x²+a₁x+a共需要5次运算（3次乘法，2次加法），依此算法计算S_n（x）的值共需要    次运算．
②我国宋代数学家秦九韶在求S_n（x）的值时采用了一种简捷的算法，实施该算法的程序框图如图所示，依此算法计算S_n（x）的值共需要    次运算．

五、解答题

26. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，E是SD的中点，．
（1）证明：SB∥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的余弦值；
（3）设点F在侧棱SC上，∠ABF=60°，求．

27. 难度：中等

已知椭圆的离心率是，且经过点M（2，1），直线与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．