2010-2011学年江苏省南通市海门中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“实系数一元二次方程有实数解”的否定是    ．

2. 难度：中等

函数的单调增区间为    ．

3. 难度：中等

已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则①原命题，②逆命题，③否命题，④逆否命题这四个命题中，正确的命题序号是    ．

4. 难度：中等

用数学归纳法证明“当n∈N^*时，1+2+2²+2³+…+2^5n-1是31的倍数”时，从k到k+1时需添加的项是    ．．

5. 难度：中等

若直线y=-x+b与函数图象的切线垂直且过切点，则实数b=    ．

6. 难度：中等

若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆=1有K_AM•K_BM=-．类似地，对于双曲线-=1有K_AM•K_BM=    ．

7. 难度：中等

命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x²+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是    ．

8. 难度：中等

函数f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件是    ．

9. 难度：中等

已知函数，对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，则f₂₀₁₁（x）=    ．

10. 难度：中等

函数在上取最小值时，x的值是    ．

11. 难度：中等

已知下列三个方程x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（2x）＜0的解集为    ．

13. 难度：中等

有以下四个命题：①若命题P：∀x∈R，sinx≤1，则￢P：∀x∈R，sinx＞1；②∃α，β∈R，使得sin（α+β）=sinα+sinβ；③若{a_n}为等比数列；甲：m+n=p+q（m、n、p、q∈N*）    乙：a_m•a_n=a_p•a_q，则甲是乙的充要条件；④设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题．其中真命题的序号    ．

14. 难度：中等

我们知道平面上n条直线最多可将平面分成个部分，则空间内n个平面最多可将空间分成    个部分．

二、解答题

15. 难度：中等

已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．

16. 难度：中等

已知命题p：log₂（x+2）-2≤log₂3，q：x²-2x+1-m²≤0，若¬p是¬q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式．

18. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）当b=2时，记b_n=2（log₂a_n=1）（n∈N⁺），证明：对任意的，不等式成立．

19. 难度：中等

（1）已知实数集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，证明：A=B的充要条件是；
（2）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，问是A=B的什么条件？请给出说明过程；
（3）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁＞0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂＞0，a₂b₂c₂≠0}，，问是A=B的什么条件？请给出说明过程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞-1时，若在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．