2008-2009学年重庆市江北中学高三（上）数学国庆训练3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，则P∩Q=（ ）
A．Φ
B．{0}
C．{-1，0}
D．{-1，0，}

2. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．（-3，+∞）
B．[-2，+∞）
C．（-3，-2）
D．（-∞，-2]

3. 难度：中等

已知f（1）=3，f（n+1）=[3f（n）+1]，n∈N^*，则f（100）的值是（ ）
A．30
B．32
C．34
D．36

4. 难度：中等

各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．或

5. 难度：中等

设集合A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A=，B={y|y=2x²}，则A×B等于（ ）
A．（2，+∞）
B．[0，1]∪[2，+∞）
C．[0，1）∪（2，+∞）
D．[0，1]∪（2，+∞）

6. 难度：中等

函数f（x）=x³+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，0）
C．
D．（-∞，1）

7. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上递减，α，β是锐角三角形的两个内角且α≠β，则下列不等式正确的是（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ）
B．f（sinα）＜f（cosβ）
C．f（sinα）＞f（sinβ）
D．f（cosα）＞f（cosβ）

8. 难度：中等

设f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=-x²+6x-5，函数g（x）是这样定义的：当f₁（x）≥f₂（x）时，g（x）=f₁（x），当f₁（x）＜f₂（x）时，g（x）=f₂（x），若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜4
B．0＜a＜4
C．0＜a＜3
D．3＜a＜4

9. 难度：中等

函数y=e^|lnx|-|x-1|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_m+T=a_m对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期，已知数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如果x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列的前2008项和是（ ）
A．669
B．670
C．1338
D．1339

二、填空题

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=10，S₅=55，则过点P（n，a_n）和Q（n+2，a_n+2）（n∈N^*）的直线的斜率是    ．

12. 难度：中等

若θ∈R，且满足条件，则二次函数f（x）=a²x²-2a²x+1（a为常数）的值域为    ．

13. 难度：中等

设命题p：|4x-3|≤1；命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）定义在R上，存在反函数，且f（9）=18，若y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1），则f（2008）=    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N⁺，n≥2）都有根α，β且3α-αβ+3β=1，则{a_n}的前n项和S_n=    ．

16. 难度：中等

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的函数，且对于任意a，b∈R，满足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），记，其中n∈N^*．
考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）是R上的偶函数；③数列{a_n}为等比数列；④数列{b_n}为等差数列．
其中正确结论的序号有    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．

18. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂=32，，a_n+1＜a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求T_n的最大值及相应的n值．

19. 难度：中等

政府决定用“对社会贡献率”对企业进行评价，用a_n表示某企业第n年投入的治理污染费用，用b_n表示该企业第n年的产值．设a₁=a（万元），且以后治理污染费用每年都比上一年增加3a（万元）；又设b₁=b（万元），且企业的产值每年均比上一年增长10%，用表示企业第n年“对社会贡献率”．   
（1）求该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”； 
（2）试问：从第几年起该企业“对社会贡献率”不低于30%？（1.1⁵=1.6105）

20. 难度：中等

已知函数．
（1）求f^-1（x）的表达式；
（2）判断f^-1（x）的单调性；
（3）若对于区间上的每一个x的值，不等式恒成立，求m的取值范围．

21. 难度：中等

对于数列{a_n}，若定义一种新运算：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），则称{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n），则称{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列．
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=5n²+3n（n∈N⁺），则{△a_n}，{△²a_n}是什么数列？
（2）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N⁺），设数列{a_n}的前n项和为S_n，求{a_n}的通项公式及的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；
（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．